ElectroYou

Premetto che sto studiando matematica,( che può ritenersi ad un livello di analisi 1 ) ma come ho avuto modo di precisare anche in un altro post, lo faccio senza l' aiuto di nessuno, questo per una passione per la matematica ( ma purtroppo non corrisposta da un' altrettanta capacità :))
Prima di affrontare gli integrali, di cui al momento so solamente cose basilari, mi stavo ripassando derivate e anche limiti, ma non su tutti gli esercizi trovo la soluzione e allora rimango nel dubbio di aver calcolato bene

ho visto che qui ci sono personalità per la matematica di notevole bravura e mi permetto di approfittare, sperando di non disturbare più del dovuto. Vi prometto che dopo questa domanda aspetterò che passi del tempo prima di approfittare ancora di voi :-)

dopo questa lunga premessa,passo al dubbio.

il limite di questa funzione qui sotto per x che tende a zero è 1
$\lim_{x \to0 }x^{x}=1$

Ma anche il limite di di questa seconda funzione( sempre per x che tende a zero ) è 1 ?

$\lim_{x \to0 }x^{x^{2}}=1$

Facendo i calcoli anche questa seconda funzione per x che tende a zero, a me torna 1

In generale

$\lim_{x \to0 }x^{x^{n}}=1$

questo limite è sempre 1 ?
Secondo i calcoli che ho effettuato a me torna sempre 1 :). Ma non sono certo se esistono altre strade di soluzione che possano essere più precise
Ripeto: purtroppo non tutti gli esercizi hanno la soluzione per poter controllare la correttezza.

P.S. ho usato il teorema de l' hopital per la soluzione

Grazie..

La dimostrazione è abbastanza semplice :). Sempre che sia giusta.
$x^{x^n}=x^{nx}=e^{\log(x^{nx})}=e^{nx \cdot \log{x}$
Quindi passando al limite si può portare dentro all'esponenziale (dovresti chiederti il perché).
$e^{\lim_{x\rightarrow 0}nx \cdot \log(x)}=e^{n\lim_{x\rightarrow 0}x \cdot \log(x)}=e^{n0}=1$
La domanda carina a questo punto è, e per n=0?
Saluti!

fairyvilje ha scritto:La dimostrazione è abbastanza semplice :). Sempre che sia giusta.
$x^{x^n}=x^{nx}$

Se per $x^{x^n}$ si intende $x^{(x^n)}$ la risoluzione di

fairyvilje va un po' corretta.
${\lim_{x\to 0} x^{x^n}}={\lim_{x\to 0}e^{\log(x^{x^n})}}={\lim_{x\to 0}e^{x^n \cdot \log{x}}=e^{\lim_{x \to 0}x^n \cdot \log(x)}$
Poiché ${\lim_{x\to 0}x^n \cdot \log(x)}=0$ (almeno per n>0

)
Si ha che il limite è sempre 1.

In entrambi i casi per n=0

la soluzione è banale.

Se n è naturale. Altrimenti credo ci sia qualche problemino con le sottosuccessioni che convergono a valori di versi in base a come arrivo. Secondo convenzione leggendo da sinistra verso destra in una catena di operazioni l'ordine è (x^x)^n

. Poi molto probabilmente intendeva quello che dicevi tu.

secondo me è anche più semplice di così, visto il teorema sui limiti:

Se esistono, finiti, i limiti

$lim_{x\rightarrow a}\ f(x)$ e $lim_{x\rightarrow a}\ g(x)$

allora esiste, finito, il limite della funzione prodotto ed è:

$lim_{x\rightarrow a}\ (f(x)\cdot g(x)) = lim_{x\rightarrow a}\ f(x)\cdot lim_{x\rightarrow a}\ g(x)$

da cui si ricava che se n è intero:

se $lim_{x\rightarrow a}\ f(x) = l$ allora $lim_{x\rightarrow a}\ f(x)^n = l^n$

quindi, visto che hai dimostrato che

$lim_{x\rightarrow a}\ x^x = 1$

hai immediatamente:

$lim_{x\rightarrow a}\ x^{x^n} = lim_{x\rightarrow a}\ (x^x)^n = 1^n = 1$

ps: sempre che con $x^{x^n}$ tu intenda come da tutti sottointeso $((x)^{x})^{n}$ e non $x^{(x^n)}$ ...
pps: ho visto ora che

Resistore aveva già sollevato il dubbio :)

Grazie ragazzi !
comunque lla funzione mi sembrava fosse chiara e mi scuso se non lo è :

$\lim_{x \to0 }x^{x}=1$

Perciò è quella che ha ipotizzato Resistore anche se la continuo in modo diverso

la funzione è in generale
$f(x)^{g(x)}$

dove f(x) è x e g(x) è x^n

visto che questa si tramuterebbe in zero elevato a zero avremmo una forma indeterminata per calcolarla direttamente
allora la si potrebbe risolvere con uno dei teoremi di de l' hopital, mettendoli nella forma 0/0 oppur inf/inf oppure 0/inf , etc. e calcolare il rapporto delle derivate ( da non confondere con la derivata di un rapporto, ovviamente :) )

allora questa funzione

$[tex]\lim_{x \to0 }x^{x}$

la possiamo scrivere come

$\lim_{x\to 0}x^{x}=\lim_{x \to 0}e^{x\cdot lnx}$

o se l' esponente di x è x^2
$\lim_{x\to 0}x^{x^{2}}=\lim_{x \to 0}e^{x\cdot lnx^{2}}$

o in generale:

$\lim_{x\to 0}x^{x^{n}}=\lim_{x \to 0}e^{x\cdot lnx^{n}}$

a questo punto , lavorando sull' esponente di e in cui la prime funzione ( x ) tende a zero, mentre la seconda funzione lnx^n tende a meno infinito, perciò avremo un prodotto fra un termine "zero" e un termine "meno infinito" che possiamo riportare ad un rapporto

Lavorando sull' esponente di del numero "e" diventa

$\lim_{x\to 0}x\cdot lnx=\lim_{x \to 0}x\cdot ln\frac{1}{x}$

e in generale

$\lim_{x\to 0}x\cdot lnx^{n}=\lim_{x \to 0}x\cdot ln\frac{1}{x^{n}}$

a questo punto è un rapporto fra zero al numeratore e meno infinito al denominatore per cui posso applicare il de l' hopitale facendo il rapprto fra le due derivate

E' corretto il ragionamento ?

e se è corretto, facendo i calcoli dei rapporti delle derivate, qualunque sia l' esponente di 1/x ( intendo l' esponente della x sotto l' 1 ), il prodotto di tutto questo esponente mi da sempre zero, percui "e" elevato a zero vale 1 che è il limite

sperodi essermi spiegato bene, altrimenti domandate pure :)

Non ci siamo. Se tu intendi $x^{(x^n)}$ allora è uguale a $e^{\log(x^{(x^n)})}=e^{x^n \log(x)}$ e non $e^{x \log(x^n)}$ .

allora la si potrebbe risolvere con uno dei teoremi di de l' hopital, mettendoli nella forma 0/0 oppur inf/inf oppure 0/inf

Attenzione le due funzioni devono essere contemporaneamente infinte o infinitesime!

Chiedo scusa fairyville

fairyvilje ha scritto:Non ci siamo. Se tu intendi $x^{(x^n)}$ allora è uguale a $e^{\log(x^{(x^n)})}=e^{x^n \log(x)}$ e non $e^{x \log(x^n)}$ .

hai perfettamente ragione!
ho scambiato f(x) con la g(x) sorry

Basta un minio di disattenzione e si va nel "bischero" come si dice da noi.
E' come dici tu e come già aveva precisato Resistore nel suo post

allora riscriviamo tutto correttamente, anche per chi magari sta leggendo e può aver fatto confusione a causa dei miei errori

$\lim_{x \to 0}x^{x^{n}}=\lim_{x \to 0}e^{x^{n}\cdot ln(x)}$

fairyvilje ha scritto:
allora la si potrebbe risolvere con uno dei teoremi di de l' hopital, mettendoli nella forma 0/0 oppur inf/inf oppure 0/inf

Attenzione le due funzioni devono essere contemporaneamente infinte o infinitesime!

anche qui mi devo scusare ( penso proprio che l' analisi matematica sia veramente una cosa da prendere con le "molle" e riuscire ad esprimersi in modo molto preciso, altrimenti si fa confusione)
volevo riferirmi ( ma ho proprio sbagliato ) al fatto di poter avere un "prodotto" anche di zero x infinito, per poi passare ad una forma di zero/zero oppure infinito/infinito facendo il reciproco di uno dei termini per applicare il de hopital come in questo caso dell' esponente di e

$x^{n}\cdot ln(x)$

che per x-->0 abbiamo un prodotto di zero ( del 1° termine ) per meno infinito ( del 2° termine ) che però possiamo portare ad un rapporto fra infiniti per applicare il de hopital

Magari più tardi facciamo il calcolo di questo limite, per vedere fino in fondo il risultato. Adesso devo andare, ma non prima di aver ringraziato tutti per l' interessamento

obiuan ha scritto:
ps: sempre che con $x^{x^n}$ tu intenda come da tutti sottointeso $((x)^{x})^{n}$ e non $x^{(x^n)}$ ...
pps: ho visto ora che Resistore aveva già sollevato il dubbio :)

Grazie anche a te obiuan , comunque intendevo

$x^{(x^n)}$ .

ma comunque guarderò anche il teorema sui limiti

ElectroYou

Un semplice limite

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