ElectroYou

Ciao! Un paio di giorni fa il prof di Analisi 1 ci ha spiegato i polinomi di Taylor e poi pure il resto di Lagrange. :roll:

Quello che non capisco è il resto di Lagrange come devo calcolarlo se ho una certa situazione, per esempio :
Devo approssimare il $\cos(5)$ con una precisione di 0.0001

.

Cosa e come devo fare per capire a quale derivata mi devo fermare?
GRAZIE!

Data una funzione f(x)

il cui polinomio di Taylor di ordine

è

si ha che:
f(x)=T_n(x)+R_n(x)

con

il resto secondo Lagrange.
Ciò significa che all'ordine

si approssima f(x)

commettendo un errore (o avendo una precisione ;-)

) pari a

e allora...

Vicentio ha scritto:Cosa e come devo fare per capire a quale derivata mi devo fermare?

Non mi sembra ci sia una formula per stabilire l'ordine del polinomio necessario.

Puoi però stabilire l'ordine calcolando l'errore teorico, e poi calcolare quello esatto.

Per risolvere il tuo quesito si potrebbe partire, approssimando la funzione f(x)=cosx con x centrato in 0 ( x_0=0

). La cosinusoide ha infinite derivate, tutte periodiche.
Sapendo che:
$f(x)=f(x)+f^{’}(x_0)(x-x_0)+\tfrac{f^{''}(x_0)(x-x_0)}{2!}+ \tfrac{f^{'''}(x_0)(x-x_0)}{3!}+ \tfrac{f^{IV}(x_0)(x-x_0)}{4!}+…+R(x)$

Si ha:
$f(x)=cosx \qquad \qquad f(0)=1$
$f^{’} (x)=-sinx \qquad \qquad f(0)=0$
$f^{‘’} (x)=-cosx \qquad \qquad f(0)=-1$
$f^{‘’’} (x)=sinx \qquad \qquad f(0)=0$
$f^{iv} (x)=cosx \qquad \qquad f(0)=1$
$f^{v} (x)=-sinx \qquad \qquad f(0)=0$
$f^{vi} (x)=-cosx \qquad \qquad f(0)=-1$
$f^{vii} (x)=sinx \qquad \qquad f(0)=0$
$f^{viii} (x)=cosx \qquad \qquad f(0)=1$

Come puoi vedere dalla derivata 4° in poi si ha un comportamento ciclico. Ora possiamo calcolare esplicitamente il polinomio di Taylor, ottenendo così:
$f(x)=f(0)+f^{’}(0)x+\tfrac{f^{''}(0)}{2!}x^2+ \tfrac{f^{'''}(0)}{3!}x^3+ \tfrac{f^{IV}(0)}{4!}x^4+…+R(x)$

$f(x)=cos(0)-sin(0)x+\tfrac{-cos(0)}{2!}x^2+ \tfrac{sin(0)}{3!}x^3+ \tfrac{cos(0)}{4!}x^4+…+R(x)$

$f(x)=1+0x-\tfrac{1}{2}x^2+ \tfrac{0}{6}x^3+ \tfrac{1}{24}x^4+…+R(x)$

$f(x)=1-\tfrac{x^2}{2}+ \tfrac{x^4}{24}+…+R(x)$

Per sistemare l'errore commesso, utilizziamo il resto secondo Lagrange. Fissato un x esiste c tale che:
$cosx = 1-\tfrac{x^2}{2}+ \tfrac{x^4}{24}-\tfrac{x^6}{720}$

L'errore commesso è pari a:
$|cosx - (1-\tfrac{x^2}{2}+ \tfrac{x^4}{24}-\tfrac{x^6}{720})|=| \tfrac{f^{8}(c)}{8!}x^{8}|$

Occorre osservare che dato che tutte le derivate di ordine dispari in 0 sono nulle, il polinomio P_6(x)

coincide con il polinomio P_7(x)

e quindi:
$cosx = 1-\tfrac{x^2}{2}+ \tfrac{x^4}{24}-\tfrac{x^6}{720} + \tfrac{f^{8}(c)}{8!}x^{8}$

da cui
$|cosx - (1-\tfrac{x^2}{2}+ \tfrac{x^4}{24}-\tfrac{x^6}{720})|=| \tfrac{f^{8}(c)}{8!}x^{8}| \le \ 1 \tfrac{( \tfrac{\pi}{2})^{8}}{8} = 0,0009$

avvicinandomi così alla cifra da te indicata nel quesito. Nel caso però volessi fare un approssimazione ancora più precisa, occorre arrivare ad una derivata di ordine 10 (in quanto la derivata di ordine 9 essendo dispari sarebbe nulla). Ovviamente il tuo caso era cos(5), lascio a te la soluzione! O_/

GRAZIE!

ElectroYou

Taylor con resto di Lagrange

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