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Un saluto a tutti,

Ho un dubbio con la risoluzione di un esercizio, che si suddivide in tre domande. Non allego nessun PDF perché é scritto tutto in catalano.

Data la funzione $f(x) = \ln( \sqrt{1 + x} )$

1 ) Calcolare $f^{(1)}(x)$ , $f^{(2)}(x)$ e $f^{(3)}(x)$
2) Calcolare il polinomio di Taylor del 3º ordine attorno al punto .
3) Trovare l'errore teorico e confrontarlo con quello esatto avendo calcolato e

Per i punti 1 e 2 non ho problemi e mi è tutto chiaro, cosi come penso mi è chiara la definizione dell' errore

$R_n(x) = \left | { (x - a)^{(n + 1)} \over (n+1)!} f^{(n + 1)}(\zeta) \right |$

I miei dubbi ricadono sulla risoluzione al punto 3, del quale riporto i passi:

Data $\,| f^{(4)} (x)\,| = \,\left | {-3 \over (x + 1)^4} \,\right | = {3 \over (x + 1)^4}$

e che

$\,| f^{(4)}(1) \,| > \,| f^{(4)}(1.5) \,|$

La risoluzione riporta:

$\text{theoretical}\,\,R_3(1.5) = \left | {f^{(4)} (\zeta) \over 4! \times 2^4} \right | < \left | {f^{(4)} (1) \over 4! \times 2^4} \right | = \boxed{ {3 \over 4! \times 2^4 \times 2^4} } = {1 \over 2048} = 0.000488$

Io lo so che a volte sono corto di neuroni ma non capisco come mai 2^4

viene ripetuto due volte al denominatore nella frazione messa in riquadro. :-|

EDIT:

Tra l'altro non dovrebbe essere:

$\text{theoretical}\,\,R_n(x) \leq M \left ( \left | { (x - a)^{(n + 1)} \over (n+1)!} f^{(n + 1)}(\zeta) \right | \right )$

quindi:

Codice: Seleziona tutto: \text{theoretical}\,\,R_3(1.5) \leq \left | {{3(x+1)^4 \over (x+1)^4} \over 4!} \right | \Rightarrow \left | {3(x+1)^4 \over 4!(x+1)^4} \right | \Rightarrow {3 \over 4! }

Correzione dopo avviso di

Resistore:

$\text{theoretical}\,\,R_3(1.5) \leq \left | {{3(x-1)^4 \over (x+1)^4} \over 4!} \right | \Rightarrow \left | {3(x-1)^4 \over 4!(x+1)^4} \right |$

:?:

/EDIT:

D'altra parte capisco bene:

$R_3(1.5) = \,| f(1.5) - P_3(1.5) \,| = 0.0004074$

Grazie in anticipo a chi mi aiuterà a capire.

O_/

simo85 ha scritto: $\text{theoretical}\,\,R_3(1.5) \leq \left | {{3(x+1)^4 \over (x+1)^4} \over 4!} \right | \Rightarrow \left | {3(x+1)^4 \over 4!(x+1)^4} \right | \Rightarrow {3 \over 4! }$

Non c'è un segno sbagliato?

Intendi cosi ?
$\text{theoretical}\,\,R_3(1.5) \leq \left | -{{3(x+1)^4 \over (x+1)^4} \over 4!} \right | \Rightarrow \left | -{3(x+1)^4 \over 4!(x+1)^4} \right | \Rightarrow \left | -{3 \over 4! }\right |$

No, al numeratore non ci dovrebbe essere $(x-a)^{(n+1)} \Rightarrow (x-1)^4$

Oh caspita si che sbadato.
Grazie per la correzione

Resistore. :-)

Dunque, dopo una conversazione con la professoressa mi ha fatto notare l'errore cosi mi sembra giusto postare la correzione.

Dato che il polinomio era valutato nel punto a = 1

e dato che l'errore teorico e reali si basava sulla valutazione del polinomio nel punto x = 1.5

ricordando che faceva riferimento alla 4ª derivata si ha che:

$\begin{aligned} & (x - a)= (1.5 - 1) = 0.5 \\ & \boxed{(0.5)^4 = {1 \over 2^4}} \end{aligned}$

(sbadato ... #-o

)
quindi:

$\begin{aligned} & \text{theoretical}\,\,R_3(1.5) = \left | {f^{(4)} (\zeta)(0.5)^4 \over 4! \times 2^4} \right | \le \left | {f^{(4)} (1)(0.5)^4 \over 4! \times 2^4} \right | = \\ & {3 \over 4! \times 2^4 \times 2^4} = {1 \over 2048} = 0.000488 \end{aligned}$

O_/

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