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Da radici quadrate passiamo a logaritmi in base 10. Come si potrebbe calcolare il logaritmo in base 10 di un certo numero x . #-o

Facendo come faceva Gauss, si era studiato a memoria le tavole :)

Che cosa vuol dire fare i logaritmi a mano? Vuoi un algoritmo da calcolatore, un metodo per stimarli a mente...?

Per gli algoritmi da calcolatore ci sono i soliti due che avevo gia` indicato prima. Si riduce l'argomento del logaritmo a un intervallo piccolo e comodo, e poi si usano delle approssimazioni polinomiali, o rapporti di polinomi o ancoira peggio... ad esempio, sempre dal solito Hart, si ha che

$\log_{10}(x)\approx z\, \frac{P(z^2)}{Q(z^2)}$ dove $z=\frac{x-1}{x+1}$ A seconda dell'intervallo di validita` dell'approssimazione considerata e del grado dei polinomi, si ottengono precisioni piu` o meno spinte. Ad esempio con una approssimazione nell'intervallo $\left (\frac{1}{\sqrt{10}},\sqrt{10} \right)$ e i due polinomi di grado 1 si ottengono 5.26 cifre significative esatte. Non sto a scrivere i coefficienti

Se invece si considera una approssimazione dello stesso tipo, ma valida solo nell'intervallo $\left (\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{2} \right)$ allora con due polinomi di primo grado si hanno 8.84 cifre significative.

Trovato il logaritmo nell'intervallo in cui l'approssimazione funziona, si denormalizza il risultato sommando il logaritmo del fattore che si era usato per la riduzione dell'argomento.

Altro modo per trovare i logaritmi e` usare il metodo Cordic, anche qui funziona e bastano somme e shift, tranne forse una divisione alla fine. Al solito non riesco a trovare il numero dello HP journal dove erano raccontate queste cose. Erano due articoli, mi pare in due numeri consecutivi.

Se infine vuoi calcolare un logaritmo "a mano" devi avere una tabella di logartmi fondamentali. Ad esempio calcoli la radice quadrata di 10, circa 3.16. e sai che il suo logaritmo vale 0.5. Poi calcoli la radice quarta di 10 (circa 1.78) e sai che il suo logaritmo vale 0.25, poi vai avanti calcolando la radice ottava, sedicesima... e sai che il logaritmo di quei numeri vale 0.125, 0.0625...
Dato il numero di cui vuoi trovare il logaritmo lo dividi per 10^n in modo da farlo diventare compreso fra 1 e 10 (escluso). Poi questo numero ritoddo lo dividi per radice di 10 (se e` maggiore di 3.16) e aggiungi 0.5 al suo logaritmo. Il risultato della divisione, se maggiore della radice quarta di 10 lo dividi per la radice quarta di 10, e aggiungi 0.25 al logaritmo... e vai avanti cosi`.

Quando dico logaritmo a mano voglio dire logaritmi calcolati senza calcolatrice solo con carta e pena senza le tavole logaritmiche. Mi interessa sopratutto il logaritmo in base 10.Grazie!

Sono riuscito ad arrivare a una formula per approssimare il $\log(d)$ con la base 10.
$\log(d)=log\left ( \frac{x}{x_{0}} \right ) \simeq \frac{5000}{11513} \sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{(-1)^{k+1}}{kx_{0}^{k}}(x-x_0)^k \right )$
Dove $\frac{5000}{11513}$ è un approssimazione di $\frac{1}{ln(10)}$ ;
Con un x_0

scelto tale che $d= \frac{x}{x_0}$
e x-x_0=1

Ho fatto questa formula tramite polinomi di Taylor.
Di solito funziona. O_/

Gli sviluppi di Taylor per l'approssimazione di funzioni hanno il difetto che approssimano benissimo la funzione intorno al punto di sviluppo, mentre piu` ci si allontana, piu` l'errore cresce e anche in modo drammatico. Inoltre con le sommatorie infinite bisogna anche dare un criterio per sapere quando fermarsi.

Per l'approssimazione di funzioni meglio usare dei metodi di minmax che minimizzano l'errore massimo, sparso su piu` punti dell'intervallo di validita` dell'approssimazione. Ad esempio i polinomi di Chebysheff hanno questa caratteristica.

Se trovi lo Hart segnalato prima, ci sono tutte le espansioni. La descrizione del Cordic per il logaritmo decimale si trova qui

Si infatti funziona bene se x-x_0=1

Per d=2 si ha x=2 x0=1 e la serie impiega un'eternita` a dare un risultato appena un po' preciso

, e si devono fare tante divisioni.

Giusto!

ti lascio un quesito da risolvere, se ti piace ragionare sulle somme armoniche.

Supponiamo di voler calcolare $\ln(200)$ .

Posso scrivere $\ln(200)=\ln(1+199)=\ln(199(1+\frac{1}{199}))\approx\ln(199)+\frac{1}{199}\approx\ln(198)+\frac{1}{198}+\frac{1}{199}=$

utilizzando lo sviluppo di Taylor per il logaritmo: $\ln(1+x)=x+o(x)$ valido per x tendente a zero.

$\ln(200)\approx\frac{1}{199}+\frac{1}{198}+\frac{1}{197}+\frac{1}{196}+\frac{1}{195}+\frac{1}{194}+...$

$\ln(200)\approx\sum_{n=1}^{199}\frac{1}{n}$

A questo punto tu mi obietterai, giustamente, che finché il denominatore della frazione é grande l'errore é contenuto, ma quando si arriva a denominatori piccoli l'errore compiuto diventa inaccettabile.
Con le frazioni:
$\frac{1}{199}+\frac{1}{198}+\frac{1}{197}+...$
non si commettono errori gravi di approssimazione sulla serie di Taylor, mentre con
$...+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1}$
l'errore commesso diventa disastroso, perché l'approssimazione $\ln(1+x)=x+o(x)$ non é piú corretta.

Bene:

$\ln(200)=5.29832$

$\sum_{n=1}^{199}\frac{1}{n}=5.87303$

Che non é male, e non é un caso.

$\ln(1000)=6.90776$

$\sum_{n=1}^{999}\frac{1}{n}=7.48447$

$\ln(10000)=9.21034$

$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n}=9.78751$

Se riesci a capire perché funziona l'approssimazione ti offro una pizza.

Ciao,
Pietro.

PietroBaima ha scritto:Se riesci a capire perché funziona l'approssimazione ti offro una pizza.

Tienitela la tua pizza :) a Londra fanno orrore!

Per non parlare di quelle di queste parti che invece fanno schifo :)

carloc il 10 gennaio ci facciamo una pizza vera alla faccia di

PietroBaima che offre fogli di gomma scaldati?

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Logaritmi a mano

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