Cos'è ElectroYou | Login Iscriviti

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

funzione inversa di y=log(f(x))

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtenteDirtyDeeds, Foto UtenteIanero, Foto UtentePietroBaima

0
voti

[1] funzione inversa di y=log(f(x))

Messaggioda Foto Utentesebago » 28 gen 2015, 9:55

E' probabile che mi stia ingrippando su una banalità ma non ne vengo a capo:
è possibile trovare la funzione inversa di y=log(x^2 -5x+6)?
Dénghiu a chi mi darà una mano.
Sebastiano
________________________________________________________________
"Eo bos issettaìa, avanzade e non timedas / sas ben'ennidas siedas, rundinas, a domo mia" (P. Mossa)
Avatar utente
Foto Utentesebago
15,1k 4 10 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 2035
Iscritto il: 1 apr 2005, 19:59
Località: Orune (NU)

1
voti

[2] Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 28 gen 2015, 10:08

Si`, per modo di dire, perche' di funzioni inverse ce ne sono due con due campi di esistenza separati, dato che l'argomento del logaritmo fra 2 e 3 diventa negativo.
Per usare proficuamente un simulatore, bisogna sapere molta più elettronica di lui
Plug it in - it works better!
Il 555 sta all'elettronica come Arduino all'informatica! (entrambi loro malgrado)
Se volete risposte rispondete a tutte le mie domande
Avatar utente
Foto UtenteIsidoroKZ
103,9k 1 3 8
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 18466
Iscritto il: 17 ott 2009, 0:00

1
voti

[3] Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Messaggioda Foto Utentekiba » 28 gen 2015, 10:11

Possibile qualcosa del genere? (Premetto che odiavo analisi e tutti gli esami ad essa connessi... :lol: )

log.png
Avatar utente
Foto Utentekiba
195 1 5
Frequentatore
Frequentatore
 
Messaggi: 139
Iscritto il: 6 lug 2013, 17:04

2
voti

[4] Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 28 gen 2015, 10:44

Leggi qui e... occhio a zio Dini. :D

Per ulteriori aiuti sono qui.

Ciao,
Pietro.
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
77,0k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 9361
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

0
voti

[5] Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 28 gen 2015, 10:49

Foto Utentekiba, toh... un Mathematicaro :D
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
77,0k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 9361
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

0
voti

[6] Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Messaggioda Foto Utentesebago » 28 gen 2015, 18:57

PietroBaima ha scritto:Leggi qui e... occhio a zio Dini. :D

Ma si risolve come un'equazione di secondo grado?
Ovvero, posto:
log(x^2-5x+6)=y
si ha:
x^2-5x+6=e^y
da cui:
x^2-5x+6-e^y=0
e risolvendo e prendendo solo il segno positivo prima della radice (per l'invertibilità nell'intervallo da 3 a infinito)
x=\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^{y}}
e pertanto:
f^{^{-1}}(x)=\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^{x}}

Ora dovrei ottenere che:
f(f^{^{-1}}(x))=x
ovvero:
log((\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^x})^2-5(\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^x})+6)=
=log(\frac{25}{4}+\frac{1}{4}+e^x+\frac{10}{2}\sqrt{\frac{1}{4}+e^x}-\frac{25}{2}-5\sqrt{\frac{1}{4}+e^x}+6)=
=log(e^x)=x

:shock: :shock: :shock:
Ho scritto qualche porcheria o era proprio così semplice? Sarà per questo che ho scartato l'idea a priori?
Sebastiano
________________________________________________________________
"Eo bos issettaìa, avanzade e non timedas / sas ben'ennidas siedas, rundinas, a domo mia" (P. Mossa)
Avatar utente
Foto Utentesebago
15,1k 4 10 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 2035
Iscritto il: 1 apr 2005, 19:59
Località: Orune (NU)

2
voti

[7] Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 28 gen 2015, 19:23

è tutto giusto, devi solo completare con l'altra soluzione dell'equazione di secondo grado e definirne i domini, dopodichè hai invertito correttamente.

Non sempre è così facile, per esempio prova ad invertire una quartica :-P
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
77,0k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 9361
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

11
voti

[8] Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 29 gen 2015, 1:51

ma sì, va...

Vediamo un metodo divide et impera che permette di invertire le funzioni a blocchi.
Anche quelle molto più complicate di questa. mooolto. :D

Abbiamo la funzione:

q(x)=\log(x^2-5x+6)

come prima cosa troviamo i punti di non invertibilitá del Dini.
Essendo la funzione di un logaritmo possiamo trovare i punti a derivata nulla dell'argomento.

(ricordo che \frac{\text{d}\log f(x)}{\text{d}x}=\frac{f'(x)}{f(x)})

Definiamo quindi:
q(x)=g \circ f

con

g(x)=\log(x)

f(x)=x^2-5x+6

Quindi

f'(x)=2x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2}

Per cui sappiamo che la funzione avrà un problema di invertibilità in 5/2.
In 5/2 è presente il punto di minimo della parabola argomento del logaritmo. Non è un caso, il logaritmo è una funzione crescente e quindi eredita l'andamento della parabola, che avrà un problema di iniettività nel suo punto stazionario.
Per semplificarci i conti trasliamo la parabola in zero.
Questo modo di fare non è specifico di questo problema, ma è generale per i punti del Dini. Se ce sono n si faranno n funzioni traslate. Ognuna di loro porterà all'inversione di due sottodomini invertibili.

f\left(\frac{5}{2} \right)=-\frac{1}{4}

Per cui, senza fare ulteriori calcoli sappiamo che:

f\left(x+\frac{5}{2}\right) +\frac{1}{4}=x^2

o anche

f\left(x+\frac{5}{2}\right)= -\frac{1}{4}+x^2

per cui posso definire ancora due funzioni:

h(x)=x+\frac{5}{2}
e
k(x)= -\frac{1}{4}+x^2

per cui si ha che:

f \circ h=k

da cui

f \circ h \circ h^{-1}=k \circ h^{-1}

f =k \circ h^{-1}

ma

q=g \circ f

q=g \circ k \circ h^{-1}

q^{-1}=\left( g \circ k \circ h^{-1} \right)^{-1}=h \circ k^{-1} \circ g^{-1}

essendo g=log(x) l'inversa non é un problema (e se fosse una funzione piú complicata si spezza ancora).

Vediamo k.

k(x)= -\frac{1}{4}+x^2

definisco

r=x-\frac{1}{4}

s=x^2

k=r \circ s

k^{-1}=(r \circ s)^{-1}=s^{-1} \circ r^{-1}

s^{-1}=\pm \sqrt{x}

r^{-1}=x+\frac{1}{4}

k^{-1}=s^{-1} \circ r^{-1}=\pm \sqrt{x+\frac{1}{4}}

dicevamo che:

q^{-1}=h \circ k^{-1} \circ g^{-1}

k^{-1} \circ g^{-1}=\pm \sqrt{\text{e}^x+\frac{1}{4}}

q^{-1}=\frac{5}{2}}\pm \sqrt{\text{e}^x+\frac{1}{4}}


Attenzione che l'operatore composizione (\circ) non gode della proprietá commutativa.
f \circ g \neq g \circ f

Come vedi é un po' una semplificazione a pezzi del problema, potrebbe essere un equivalente Thevenin per le funzioni inverse :D

Ti lascio da fare la divisione dei due intervalli di invertibilitá.

Ciao,
Pietro.
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
77,0k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 9361
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

1
voti

[9] Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Messaggioda Foto Utentefairyvilje » 29 gen 2015, 2:35

Bello :D! Come al solito stare svegli fino a tardi vale la pena :mrgreen: .
"640K ought to be enough for anybody" Bill Gates (?) 1981
Qualcosa non ha funzionato...

Lo sapete che l'arroganza in informatica si misura in nanodijkstra? :D
Avatar utente
Foto Utentefairyvilje
11,3k 4 9 12
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 2444
Iscritto il: 24 gen 2012, 19:23

1
voti

[10] Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 29 gen 2015, 10:55

Grazie :D

Mi sono però dimenticato di dire che il teorema del Dini è una condizione sufficiente.
Purtroppo esistono funzioni invertibili che nessuno può invertire, se non numericamente :D

Ciao,
Pietro.
Generatore codice per articoli:
nomi
emoticon
citazioni
formule latex

Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
Avatar utente
Foto UtentePietroBaima
77,0k 6 12 13
G.Master EY
G.Master EY
 
Messaggi: 9361
Iscritto il: 12 ago 2012, 1:20
Località: Londra

Prossimo

Torna a Matematica generale

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 4 ospiti