ElectroYou

E' probabile che mi stia ingrippando su una banalità ma non ne vengo a capo:
è possibile trovare la funzione inversa di y=log(x^2 -5x+6)

?
Dénghiu a chi mi darà una mano.

Si`, per modo di dire, perche' di funzioni inverse ce ne sono due con due campi di esistenza separati, dato che l'argomento del logaritmo fra 2 e 3 diventa negativo.

Possibile qualcosa del genere? (Premetto che odiavo analisi e tutti gli esami ad essa connessi... :lol:

)

Leggi qui e... occhio a zio Dini.

Per ulteriori aiuti sono qui.

Ciao,
Pietro.

kiba, toh... un Mathematicaro

PietroBaima ha scritto:Leggi qui e... occhio a zio Dini.

Ma si risolve come un'equazione di secondo grado?
Ovvero, posto:
log(x^2-5x+6)=y

si ha:

da cui:

e risolvendo e prendendo solo il segno positivo prima della radice (per l'invertibilità nell'intervallo da 3 a infinito)
$x=\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^{y}}$
e pertanto:
$f^{^{-1}}(x)=\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^{x}}$

Ora dovrei ottenere che:
$f(f^{^{-1}}(x))=x$
ovvero:
$log((\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^x})^2-5(\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^x})+6)=$
$=log(\frac{25}{4}+\frac{1}{4}+e^x+\frac{10}{2}\sqrt{\frac{1}{4}+e^x}-\frac{25}{2}-5\sqrt{\frac{1}{4}+e^x}+6)=$
=log(e^x)=x

Ho scritto qualche porcheria o era proprio così semplice? Sarà per questo che ho scartato l'idea a priori?

è tutto giusto, devi solo completare con l'altra soluzione dell'equazione di secondo grado e definirne i domini, dopodichè hai invertito correttamente.

Non sempre è così facile, per esempio prova ad invertire una quartica :-P

ma sì, va...

Vediamo un metodo divide et impera che permette di invertire le funzioni a blocchi.
Anche quelle molto più complicate di questa. mooolto.

Abbiamo la funzione:

$q(x)=\log(x^2-5x+6)$

come prima cosa troviamo i punti di non invertibilitá del Dini.
Essendo la funzione di un logaritmo possiamo trovare i punti a derivata nulla dell'argomento.

(ricordo che $\frac{\text{d}\log f(x)}{\text{d}x}=\frac{f'(x)}{f(x)}$ )

Definiamo quindi:
$q(x)=g \circ f$

con

$g(x)=\log(x)$

f(x)=x^2-5x+6

Quindi

$f'(x)=2x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2}$

Per cui sappiamo che la funzione avrà un problema di invertibilità in 5/2.
In 5/2 è presente il punto di minimo della parabola argomento del logaritmo. Non è un caso, il logaritmo è una funzione crescente e quindi eredita l'andamento della parabola, che avrà un problema di iniettività nel suo punto stazionario.
Per semplificarci i conti trasliamo la parabola in zero.
Questo modo di fare non è specifico di questo problema, ma è generale per i punti del Dini. Se ce sono n si faranno n funzioni traslate. Ognuna di loro porterà all'inversione di due sottodomini invertibili.

$f\left(\frac{5}{2} \right)=-\frac{1}{4}$

Per cui, senza fare ulteriori calcoli sappiamo che:

$f\left(x+\frac{5}{2}\right) +\frac{1}{4}=x^2$

o anche

$f\left(x+\frac{5}{2}\right)= -\frac{1}{4}+x^2$

per cui posso definire ancora due funzioni:

$h(x)=x+\frac{5}{2}$
e
$k(x)= -\frac{1}{4}+x^2$

per cui si ha che:

$f \circ h=k$

da cui

$f \circ h \circ h^{-1}=k \circ h^{-1}$

$f =k \circ h^{-1}$

ma

$q=g \circ f$

$q=g \circ k \circ h^{-1}$

$q^{-1}=\left( g \circ k \circ h^{-1} \right)^{-1}=h \circ k^{-1} \circ g^{-1}$

essendo g=log(x) l'inversa non é un problema (e se fosse una funzione piú complicata si spezza ancora).

Vediamo k.

$k(x)= -\frac{1}{4}+x^2$

definisco

$r=x-\frac{1}{4}$

s=x^2

$k=r \circ s$

$k^{-1}=(r \circ s)^{-1}=s^{-1} \circ r^{-1}$

$s^{-1}=\pm \sqrt{x}$

$r^{-1}=x+\frac{1}{4}$

$k^{-1}=s^{-1} \circ r^{-1}=\pm \sqrt{x+\frac{1}{4}}$

dicevamo che:

$q^{-1}=h \circ k^{-1} \circ g^{-1}$

$k^{-1} \circ g^{-1}=\pm \sqrt{\text{e}^x+\frac{1}{4}}$

$q^{-1}=\frac{5}{2}}\pm \sqrt{\text{e}^x+\frac{1}{4}}$

Attenzione che l'operatore composizione ( $\circ$ ) non gode della proprietá commutativa.
$f \circ g \neq g \circ f$

Come vedi é un po' una semplificazione a pezzi del problema, potrebbe essere un equivalente Thevenin per le funzioni inverse

Ti lascio da fare la divisione dei due intervalli di invertibilitá.

Ciao,
Pietro.

Bello

! Come al solito stare svegli fino a tardi vale la pena :mrgreen:

.

Grazie

Mi sono però dimenticato di dire che il teorema del Dini è una condizione sufficiente.
Purtroppo esistono funzioni invertibili che nessuno può invertire, se non numericamente

Ciao,
Pietro.

ElectroYou

funzione inversa di y=log(f(x))

funzione inversa di y=log(f(x))

Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Re: funzione inversa di y=log(f(x))

Re: funzione inversa di y=log(f(x))