ElectroYou

Buongiorno a tutti, mi trovo qui al culmine di tre giorni di penare sul calcolo di un'anti-trasformata Zeta (Ho inoltre già chiesto aiuto ma niente...). Ad un certo punto mi trovo con la quantità: $\frac{z^3}{(z - 1)^2(z+1)}$ da antitrasformare. Seguendo la linea della soluzione proposta dal professore decido dunque di procedere con la decomposizione in fratti semplici, per ottenere qualcosa di conosciuto sulla tabella delle trasformate. Il problema che si presenta ora è che non ricordo più come si fa la decomposizione. Cercando sui libri, nel web ecc. trovo metodi ad hoc per casi specifici e puri esempi. Sapreste fornirmi una metodologia generale per procedere? Magari anche un link che rimandi ad essa...
Vi ringrazio in anticipo!

http://www.matematicamente.it/forum/residui-e-decomposizione-in-fratti-semplici-t49637.html

La metodologia generale usa formule piuttosto complesse da ricordare a memoria, ma esistono. Altrimenti si fa a mano, ricostruendo il sistema lineare ogni volta.

Guarda qui a pagina 10. Nel caso di poli con molteplicità 1 si semplifica di molto.

Segnalo anche la possibilità di convertire direttamente
con istruzioni Mathcad Prime

$Parfrac.gif$: Parfrac.gif (9.97 KiB) Osservato 11017 volte

Per i casi semplici a me torna utile la decomposizione in fratti tramite sistema lineare, ma anche l'uso dei residui è una tecnica estremamente funzionale. Io la uso quando ci sono più di 3-4 addendi, semplifica enormemente i calcoli ed è più diretta.

Grazie mille davvero a tutti per l'aiuto!

Chiedo scusa nuovamente. Ho provato a risolvere manualmente l'esercizio, ottengo che:
$\frac{z^3}{(z-1)^2(z+1)}=1+\frac{A}{z-1}+\frac{B}{(z-1)^2}+\frac{C}{z+1}$
Quindi calcolo

,

in modo corretto, ottenendo risultati corretti. Poi mi accingo a calcolare

otenendo:
$\lim_{x\to\infty} (z-1)\bullet \frac{z^3}{(z-1)^2(z+1)}$ Ovviamente semplifico il semplificabile e ottengo $\frac{3}{2}$ . Come mai accade ciò? Il mio stupore deriva più che altro dal fatto che nel caso degli altri coefficienti i risultati tornano tutti... :shock:

Grazie di nuovo!

Manca una derivata in giro :). Non sei nel caso di poli semplici.

Se hai un'espressione del tipo $1+\frac{A}{z-1}+\frac{B}{(z-1)^2}+\frac{C}{z+1}$ , allora ti ritrovi un doppio polo nel punto z=1

. Solitamente quando vuoi calcolare il valore del residuo corrispondente al polo semplice z_n

fai $\lim_{z \to z_n} (z-z_n) f(z)}$ , in questo modo "elimini" gli altri termini e lasci solo il coefficiente relativo al polo z_n

. Quando invece hai un polo doppio, occorre apportare delle modifiche: l'obiettivo finale è sempre quello di "cancellare" gli altri termini e lasciare solo quello relativo al polo che devi calcolare.
Nel tuo caso, per trovare ad esempio il coefficiente

(termine

, fai
$\lim_{z\to 1} (z-1)^2 \left( 1+\frac{A}{z-1}+\frac{B}{(z-1)^2}+\frac{C}{z+1} \right)}=(z-1)^2+A}(z-1)+B+C\frac{(z-1)^2}{z+1}$
Se esegui il limite ti resta infine solo il termine

. In questo senso il limite che ti calcoli poi numericamente corrisponde al risultato di

, proprio perché utilizzi una tecnica che "elimini" gli altri contributi e lasci solo quello interessato.
Se invece vuoi calcolarti

, proseguendo allo stesso modo di sopra ricavi:
$\lim_{z\to 1} (z-1) \left( 1+\frac{A}{z-1}+\frac{B}{(z-1)^2}+\frac{C}{z+1} \right)}=(z-1)+A+\frac{B}{z-1}+C\frac{z-1}{z+1}$
E facendo il limite stavolta non ti resta come risultato solo

, in quanto c'è uno z-1

al denominatore di

che sballa tutto, per cui il risultato che trovi NON è relativo al termine

, diversamente al caso precedente in cui dopo i calcoli restava esattamente il solo termine

.
Per questo la tecnica nel caso di poli doppi è quella di derivare l'espressione al fine di ricavare una formulazione in termini del solo

. Riguardando l'espressione calcolata sopra per

, cioè
$\lim_{z\to 1} (z-1)^2 \left( 1+\frac{A}{z-1}+\frac{B}{(z-1)^2}+\frac{C}{z+1} \right)}=(z-1)^2+A}(z-1)+B+C\frac{(z-1)^2}{z+1}$
puoi vedere che, derivando rispetto a

questa espressione, ti resta
$(z-1)+A+2C\frac{z-1}{(z+1)^2}$
e facendone il limite per $z \to 1$ ti resta solo

.

Nel caso di poli doppi, quindi, per calcolare il coefficiente relativo al termine (z-z_n)^2

fai $\lim_{z \to z_n} (z-z_n)^2 f(z)}$ ; per il coefficiente (z-z_n)

, invece, fai prima (z-z_n)^2 f(z)}

, successivamente derivi rispetto a

e infine fai il limite per $z \to z_n$ .
Senza questa operazione il risultato deve venirti sbagliato, perché quello che vai cercando non è coefficiente del termine z-z_n

!

ElectroYou

Scomposizione in fratti semplici

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