ElectroYou

Salve a tutti, avrei il seguente quesito da porvi:

Consideriamo la seguente espressione del coseno
$Acos( 2\pi f_0 t + \theta ) = \underbrace { {A \over 2 } e^{j2\pi f_0t + \theta} }_{Parte1} + \underbrace { {A \over 2 } e^{-j2\pi f_0t + \theta} }_{Parte2}$

1) Parte 1

e

sono esponenziali complessi o fasori ( o forse è la stessa cosa ? )

2) Parte 1

e

sono funzioni del tempo o della frequenza ?

3) Se Parte 1

e

sono funzioni del tempo come riesco a rappresentarne direttamente spettro di fase e di ampiezza (dovrebbero essere funzioni della frequenza) ?

Grazie mille a tutti.

Ti do un +1 per aver scritto il tuo quesito con impegno
te tolgo un mezzo punto (morale) perche' in Parte2 ti sei scordato una parentesi. :mrgreen:

(vediamo se vedi dove manca)

Risposte:
1) il fasore è un 'oggetto geometrico' utile a 'descrivere' gli esponenziali complessi (modificati da una variabile) ... quindi diaciamo che per quanto ti riguarda probabilmente sono la stessa cosa.
2) tempo, la variabile t per la precisione
3) la risposta sarebbe piu' complessa, vediamo se afferri il risultato analitico (sempre che ti interessi). Ti do la versione breve quindi: lo spettro in frequenza è sempre nullo tranne che alla frequenza fo, dove c'è l'informazione di quel coseno.

Russell ha scritto:Ti do un +1 per aver scritto il tuo quesito con impegno
te tolgo un mezzo punto (morale) perche' in Parte2 ti sei scordato una parentesi.
(vediamo se vedi dove manca)

RiConsideriamo la seguente espressione del coseno

$Acos( 2\pi f_0 t + \theta ) = \underbrace { {A \over 2 } e^{j2\pi f_0t + \theta} }_{Parte1} + \underbrace { {A \over 2 } e^{-j(2\pi f_0t + \theta)} }_{Parte2}$

Russell ha scritto:1) il fasore è un 'oggetto geometrico' utile a 'descrivere' gli esponenziali complessi (modificati da una variabile) ... quindi diaciamo che per quanto ti riguarda probabilmente sono la stessa cosa.

OK

Russell ha scritto:2) tempo, la variabile t per la precisione

OK

Russell ha scritto:3) la risposta sarebbe piu' complessa, vediamo se afferri il risultato analitico (sempre che ti interessi). Ti do la versione breve quindi: lo spettro in frequenza è sempre nullo tranne che alla frequenza fo, dove c'è l'informazione di quel coseno.

Mi piacerebbe approfondire e capire il perché.

Grazie mille

Un fasore non da informazioni sulla frequenza.

Se introduci un señale sinusoidale ad una determinata frequenza $\omega t$ in un sistema lineare, la frequenza di uscita è $\omega t$ .

E il fasore si rappresenta cosi:

$A\cos(\omega t \pm \phi) = {\mathfrak R (\mathbf A\,\text e^{\pm \text i \phi})$

Dove

$\mathbf A\,\text e^{\pm i \phi} = A(\cos(\phi) + \text i \sin(\phi))$

subliminal ha scritto:Mi piacerebbe approfondire e capire il perché.

Conosci la trasformata di Fourier?
Se si dovresti sapere che la trasformata di un coseno è una coppia di delta di dirac.
Una sarà a frequenza fo, l'altra a frequenza -fo
Parte1 e Parte2 sono sostanzialmente le 2 delta di dirac. Avranno ampiezza A/2 e fase +-theta
Per risponderti da solo imposta la trasformata singolarmente ai 2 termini, e vedrai scritto da te stesso la funzione in frequenza che descrive i 2 singoli spettri in questione.

Russell ha scritto:Conosci la trasformata di Fourier?

Si certo. Sia x(t)

il nostro carissimo coseno :
$x(t) = Acos( 2\pi f_0 t + \theta ) = \underbrace { {A \over 2 } e^{j2\pi f_0t + \theta} }_{Parte1} + \underbrace { {A \over 2 } e^{-j(2\pi f_0t + \theta)} }_{Parte2}$

La sua $X(f) = \mathscr{F[x(t)]}$ risulta essere:

$X(f) = \mathscr{F[x(t)]} = {A \over 2 } [ \underbrace {e^{j\theta}\delta{(f-f_0)} }_{Fasore1} + \underbrace {e^{-j\theta}\delta{(f+f_0)} }_{Fasore2} ]$

1) a questo punto è giusto scrivere ( scrivo solo per il Fasore1

):

$A(f) = \delta{(f-f_0)}$
$\theta(f) = \theta = const$

2) come spettro di ampiezza abbiamo due impulsi su f_0

e

3) come spettro di fase non dovremo avere una costante su tutte le frequenze ?

1) si, corretto (sempre che poi non ti dimentichi l'A/2 che sta fuori dalle parentesi a moltiplicare l'ampiezza)
ma conta che se l'ampiezza di un numero complesso è nulla, non ha molto senso parlare di fase. Quindi anche la fase dovrebbe essere moltiplicata (per pulizia) per la delta, in modo da imporla asetticamente a zero al di fuori di +-fo
2) si
3) Ni. La fase puoi speciricarla deterministicamente solo presso +-fo, altrove in teoria puo' fare quello che gli pare (vedi sopra). Solitamente per pulizia si impone quindi a zero.

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