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Salve ragazzi. Mi trovo ad affrontare un esercizio che, come dice il titolo, riguarda i processi aleatori. Non avendo la possibilità di postare un'immagine del testo, lo riporto qui:

- Si consideri il processo aleatorio parametrico $\xi (t,\eta) = \eta[u(t) + u(-t)]$ con $\eta$ variabile aleatoria normale standard.
a. Disegnare alcune realizzazioni del processo;
b. Calcolare la media statistica $\mu_{\xi} (t)$ del processo;
c. Calcolare la varianza statistica $\sigma_{\xi}^2 (t)$ del processo;
d. Calcolare la funzione di autocorrelazione del processo $R_{\xi\xi} (t_1, t_2)$ ;
e. Dire se il processo è stazionario, motivandone la risposta;
f. Dire se il processo è ergodico, motivandone la risposta.

Premetto che io non ho assolutamente idea di come cominciare, in particolare per quanto riguarda il punto (a). So che una variabile aleatoria si dice normale standard se ha valor medio nullo ( $\mu_{\eta} =0)$ e varianza unitaria ( $\sigma_{\eta}^2 =1)$ e ha un certo tipo di funzione densità di probabilità che non sto qui a scrivere altrimenti perderei un pomeriggio

Purtroppo ho provato per lungo tempo a trovare una soluzione, ma senza risultati. Quindi vi chiedo, se è possibile, di spingermi pian piano verso la soluzione di questo esercizio. Grazie!

Cos'è

? La funzione di Heaviside ? Come è definita $\eta$ ?
Che tipo di variabile aleatoria è ? Continua o discreta ?
Quale distribuzione statistica ha ?

Per il punto a, ti chiede di rappresentare alcune realizzazioni del processo aleatorio. Fissi un valore per $\eta$ e fai i grafici.

Grazie per aver risposto. Allora u(t)

è la funzione gradino di Heaviside. Come ho scritto $\eta$ è una variabile aleatoria normale standard, suppongo continua. Per la distribuzione statistica non ho idea, il testo che leggi è quello preso dagli esercizi.

La variabile $\eta$ che valori può assumere? Da $-\infty$ a $+\infty$ ? E poi sommando quei gradini non si ottiene una funzione costante pari a 1?

pepy91 ha scritto:Come ho scritto $\eta$ è una variabile aleatoria normale standard, suppongo continua. Per la distribuzione statistica non ho idea

Scusa ho letto di fretta. Allora $\eta$ è una variabile aleatoria gaussiana. È continua.

Ok, ma in questi casi come si procede per la risoluzione dei vari punti? In che modo si possono collegare le due variabili $\xi$ e $\eta$ ??

pepy91 ha scritto:In che modo si possono collegare le due variabili $\xi$ e $\eta$ ??

Attenzione.

$\xi$ è un processo stocastico.
$\eta$ è una varibile aleatoria.

Ok, ho capito la differenza. Ma non ho ancora capito come risolvere questo esercizio. Non chiedo di darmi la soluzione dell'esercizio, ma solo che qualcuno mi portasse a ragionare verso la soluzione, perché altrimenti non capirei nulla su come si svolgono questa tipologia di esercizi.

Ti aiuterei volentieri, ma non capisco la simbologia usata qui:

pepy91 ha scritto:Si consideri il processo aleatorio parametrico $\xi (t,\eta) = \eta[u(t) + u(-t)]$ con $\eta$ variabile aleatoria normale standard.

cosa rappresentano le parentesi quadre?

confermo comunque questa osservazione

pepy91 ha scritto:sommando quei gradini non si ottiene una funzione costante pari a 1?

che mi lascia ancora piu' perplesso il modo di identificare il processo

Esatto, purtroppo non riesco nemmeno io a dare un'interpretazione. Il contenuto nelle parentesi quadre potrebbe essere l'argomento della variabile $\eta$ , ma non ne sono sicuro.
Comunque, quale potrebbe essere una soluzione qualora fosse questa l'idea giusta?

io ragionerei cosi'
le parentesi quadre le interpreterei come normali parentesi, per moltiplicare il processo gaussiano per una funzione
a quel punto mi accorgo che la funzione a moltiplicare in realtà vale sempre 1, quindi semplifico in
$\xi (t,\eta) = \eta[u(t) + u(-t)]=\eta$
disengare una realizzazione diventa banale (poiche' rimane un semplice processo gaussiano)
a quel punto la media è evidentemente 0. la varianza è 1.

ecc ...

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Esercizio sui processi aleatori

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