Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

[PietroBaima]

tutto, anche qualcosa in più.

[PietroBaima]

ma basta con questa storia della radice quadrata di meno uno...

EcoTan, leggi qui e i vari link annidati.

[EcoTan]

Non credo che il mio professore (Brigagxxx) del liceo classico pubblico fosse sprovveduto, lui una volta ha fatto notare che il segno di radice, non posto fra le barre che indicano il modulo, è ambiguo perché non specifica se radice positiva negativa o entrambe.
Adesso non ricordo come poi in Analisi è stato introdotto i.
Ma alla fine qual è la definizione breve di i?

[PietroBaima]

ma sappi che qualche matematico pignolo contesta anche questa. (io non sono così pignolo)
Se però lavori con i quaternioni, in effetti, anche la definizione qui sopra è foriera di errori vari.

Purtroppo per i numeri complessi anche il modulo cambia di significato.
DirtyDeeds diceva la cosa più corretta: in campo complesso parlare di radice non ha senso.

[EcoTan]

OK grazie

[Piercarlo]

non credo ci sia un significato fisico dei numeri complessi
a mio avviso è solo uno strumento per lavorare matematicamente con certe grandezze
altrimenti non l'avrebbero battezzati 'numeri immaginari'

Forse arrivo già in ritardo (non ho ancora letto come va avanti il thread) ma,mentre per gli altri insiemi di numeri è evidente che sono partiti da un'astrazione dell'operazione concreta di contare gli oggetti (i numeri interi) e poi di dividerli equamente (razionali, con vari shock via via che si incontravano numeri via via "recalcitranti" al trattamento, a partire dai numeri primi), i numeri complessi sembrano (a me) un vero e proprio "oggetto" matematico per conto suo che, sebbene venga usato nei calcoli "materiali", di per sé non hanno nessuna realtà materiale o, al meglio di quello che posso pensare, la devono ancora trovare.

E' così?

Ciao
Piercarlo

[Piercarlo]

Purtroppo per i numeri complessi anche il modulo cambia di significato.
DirtyDeeds diceva la cosa più corretta: in campo complesso parlare di radice non ha senso.

Ma se il campo reale è solo un caso particolare del campo complesso, cosa se ne dovrebbe pensare di questo "non ha senso"? Che l'estrazione di radice è valida solo nel campo reale?

Ciao
Piercarlo

[simo85]

Ciao, scusate se mi intrometto un attimo.

Non credo che il mio professore (Brigagxxx) del liceo classico pubblico fosse sprovveduto

Ne parlavo giustamente qualche giorno fa con PietroBaima in un altro thread, qui, del fatto che quello di i uguale radice di meno uno è un errore che purtroppo si trova in moltissimi libri..

Non sono e non mi considero un genio in matematica quindi sono tra gli ultimi che può dire qualcosa di molto interessante a riguardo, credo.

Questo comunque è triste perché in effetti ti stanno insegnando una cosa sbagliata. E non stiamo parlando di un libro. Parliamo di molti libri.

Adesso però ho una piccola domanda (e poi la smetto ), che arriva da un libro che sto leggendo.
È corretto però definire:



Come una grandezza immaginaria ? Se viene cosi definita, non è la stessa cosa scrivere:





Lo chiedo perché il libro è "Relatività: Esposizione Divulgativa e scritti su Spazio Geometria Fisica", A. Einstein, parte 1 sezione 17 "Lo spazio quadridimensionale di Minkowski", e dato l'autore e l'argomento, è probabile che io abbia ancora qualche idea confusa.. Ho riscontrato che anche sulle versioni in inglese vi è la stessa definizione tale e quale.

Sono anche riuscito ad avere fortuna con Amazon con un Surprise Me! da qui:

http://www.amazon.com/Relativity-The-Sp ... 1420946331

Al thread linkato, messaggio [33] di Pietro, questo capita solo per la definizione che viene usata internamente della radice quadrata. Dico bene ?

Grazie in anticipo.

[cronos80]

Bella discussione!
Riporto il mio modo di vedere le cose da ignorante [1]: la fisica ci spiega i fenomeni che accadono intorno a noi: dalla mela che cade alla conversione materia-energia. La matematica fornisce alla fisica una metodologia di astrazione che permette di rappresentare i fenomeni fisici con modelli matematici.
Detto questo io vedo la mela che cade dall'albero (scusate sono un meccanico e quindi mi fermo a Newton ), posso spiegare il fenomeno con:
1. Toh guarda un'applicazione della forza di attrazione tra i corpi.
2. Toh guarda un'applicazione della forza di gravità.
3. Toh guarda è caduta una mela.

Rispondendo alla domanda i numeri complessi sono dell'entità matematiche (degli artifizi, degli strumenti) che ci aiutano a descrivere il mondo che ci circonda.
Un po' come le parole sono delle entità del linguaggio che ci aiutano a descrivere il mondo che ci circonda.

PS.: Una nota un po' polemica forse, ma da ingegnere quando sento dire giusto o sbagliato su certe cose mi dà fastidio. Che sia una definizione sbagliata è un'affermazione che dipende dall'ignoranza degli interlocutori [1].
Non dimentichiamo che l'istruzione avviene per approssimazioni successive, o per meglio dire precisando man mano le approssimazioni fatte in precedenza. Alle elementari si insegnano le addizioni, alle medie si insegnano le serie, alle superiori gli integrali.

[1] Ignoranza = mancanza di conoscenza. Non nell'accezione negativa del termine, ma in quella umile: io so di non sapere e per quanti anni vivrò ci sarà sempre qualcosa che ignorerò.

[DirtyDeeds]

Che l'estrazione di radice è valida solo nel campo reale?

Non è che l'estrazione di radice sia valida solo in campo reale. Il punto cruciale, però, è che la notazione è una notazione funzionale e presuppone l'esistenza di un unico numero che abbia determinate caratteristiche. In particolare, in campo reale si dimostra che dato esiste un unico tale che . Ciò implica che esista una funzione dell'insieme dei reali positivi su se stesso che abbiamo deciso di denotare con .

Nel campo dei complessi, ma non solo in quello, le cose si fanno più complicate perché non c'è un modo semplice di definire una funzione radice quadrata in modo analogo a quanto fatto nei reali. Si dice allora che il simbolo denota una radice quadrata di , con il significato che .

E' da notare che il metodo comunemente impiegato per definire i numeri complessi come coppie di reali, può essere utilizzato anche per estendere altri campo (p.es. quello dei razionali) in modo tale che dato un numero appartenente al campo, l'estensione contenga una radice quadrata di . Queste estensioni vengono chiamate estensioni quadratiche.

Per simo85: , come visto, è una scrittura sbagliata, "meglio" . Ho messo tra virgolette meglio perché in realtà l'idea dello spazio-tempo di Minkowski come uno spazio con una coordinata immaginaria è ormai desueta e abbandonata. L'algebra lineare fornisce gli utensili per definire lo spazio-tempo di Minkowski come spazio (affine) reale, senza bisogno di fare intervenire artificialmente l'unità immaginaria.