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Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Analisi, geometria, algebra, topologia...

Moderatori: Foto UtenteIanero, Foto UtentePietroBaima

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[21] Re: Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 7 lug 2015, 17:55

La domanda è interessante.
Tutto deriva dal fatto che si tende sempre ad estendere allegramente le operazioni da un campo ad un altro, senza fare le verifiche dovute.

Quando, in campo reale, devo risolvere l'equazione x^2-1=0 scopro che essa è verificata per la coppia di valori +1 e -1.
perché questo succede? perché si hanno due valori?
La risposta è ovvia: perché quella parabola taglia l'asse delle x in due punti e tali sono le soluzioni.

Benissimo, è corretto.
Posso certamente anche dire che le soluzioni di x^2-1=0 sono in realtà date dalla funzione inversa.
Niente di obiettabile, basta invertire la funzione come si deve. ;-)
La funzione x^2-1=f(x) ha un punto a derivata nulla in zero. Il buon vecchio Dini ci dice che abbiamo un punto di non invertibilità locale.
Traslamoci nel punto di non invertibilità, per centrarci rispetto ad esso.

f(x)= x^2-1

definisco

r=x-1

s=x^2

e inverto, a costo di essere eccessivamente pesante:

f=r \circ s

f^{-1}=(r \circ s)^{-1}=s^{-1} \circ r^{-1}

s^{-1}=\pm \sqrt{x}

r^{-1}=x+1

f^{-1}=s^{-1} \circ r^{-1}=\pm \sqrt{x+1}

avendo la funzione inversa e volendo calcolare

f(x)=0

ho che

x=f^{-1}(0)

cioè

x=\pm1

Fin qui nulla di male. Siamo stati eccessivamente cauti e pedanti, ma nessuno ci può dire che abbiamo sbagliato.

Vediamo adesso di fare lo stesso ragionamento con x^2+1=0.
Quella parabola non taglia mai l'asse delle x, per cui il primo modo di trovare una soluzione fallisce prima di cominciare.
Non ci sono soluzioni.
Non ce ne sono, fine.
Ragioniamo nuovamente sull'inversa, quindi.
In fondo non dobbiamo che rifare la strada di prima...

g(x)= x^2+1

g(x) ha problemi in x=0, come prima...

definisco quindi

p=x+1

s=x^2

e inverto, come prima:

g=p \circ s

g^{-1}=(p \circ s)^{-1}=s^{-1} \circ p^{-1}

s^{-1}=\pm \sqrt{x}

p^{-1}=x-1

g^{-1}=s^{-1} \circ p^{-1}=\pm \sqrt{x-1}

avendo la funzione inversa e volendo calcolare

g(x)=0

ho che

x=g^{-1}(0)

cioè
OUCH!
il dominio dell'inversa è per y>1, non posso porre y=0!!

Cosa è successo?
Non ho potuto fare la radice quadrata come prima?
No, semplicemente non ho avuto modo di definirla correttamente in modo tale per cui mi permettesse di risolvere il problema. Non è nel dominio, non posso usarla!

Quello che devo fare è considerare correttamente il problema:

z^2+1=0

z^2=-1

il numero -1 in campo complesso è un vettore, pari a w=-1+i \cdot 0, che può essere rappresentato in forma polare come:

w=\text{e}^{-\text{i}\pi+\text{i}2k \pi}

con k \in \mathbb{Z}

Per cui ci sono infinite soluzioni a quella equazione, che valgono:

z^2=\text{e}^{-\text{i}\pi+\text{i} 2k \pi}

z=\text{e}^{-\text{i}\pi/2+\text{i}k \pi}

Si nota che le soluzioni linearmente indipendenti sono solo due e precisamente:

z_1=\text{e}^{-\text{i}\pi/2} \qquad k=0

z_1=\text{e}^{-\text{i}\pi/2+\text{i} \pi} \qquad k=1

se k=3 la soluzione coincide con k=0, con k=4 coincide con k=1 ecc...

z_1=\text{e}^{-\text{i}\pi/2}=\text{i}

z_2=\text{e}^{-\text{i}\pi/2+\text{i} \pi}=\text{e}^{-\text{i}\pi/2} \cdot \text{e}^{\text{i} \pi}=-\text{i}

Può sembrare una differenza sottile, ma risolvendo z^3+1=0 si nota che le soluzioni sono 3, di cui solo una reale.
Inoltre si vede come la radice non sia definita, leggerezza che spesso porta ad errori.

Per Foto Utentesimo85: lascia perdere quella notazione. Dovrei spiegarti le metriche di kerr che l'hanno soppiantata.

Ciao,
Pietro.
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[22] Re: Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 7 lug 2015, 18:00

PietroBaima ha scritto:Per simo85: lascia perdere quella notazione. Dovrei spiegarti le metriche di kerr che l'hanno soppiantata.


Esagerato Foto UtentePietroBaima, non terrorizzare Foto Utentesimo85! Dai, per la relatività speciale basta una forma bilineare indefinita non degenere ;-)
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[23] Re: Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 7 lug 2015, 18:01

minimalista :mrgreen:

Si vede che avevo un professore fissato con le metriche di kerr? :mrgreen:
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[24] Re: Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 7 lug 2015, 18:16

uh, non avevo visto il post precedente di Foto UtenteDirtyDeeds, mi sono sovrapposto!

sorry
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[25] Re: Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Messaggioda Foto Utentesimo85 » 7 lug 2015, 18:41

Ciao Foto UtenteDirtyDeeds, Foto UtentePietroBaima.

Grazie mille per le spiegazioni e per rassicurarmi. :ok:
Mi fa piacere sapere che allora ho fatto bene a sospettare. :-)

PS: Ma quand 'è che lo scrivete voi due un articoletto sull' unità immaginaria ?
Il gattone ha scritto quello dei watt rms, adesso tocca a voi :!:

:D
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[26] Re: Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 7 lug 2015, 18:49

Significato fisico dei numeri complessi? Nessuno! E non e` uno scherzo :)

Molto spesso in fisica i numeri derivano da misure, e non sono solo numeri, sono grandezze fisiche, e direi che tutte el grandezze fisiche che si possono misurare danno valori non complessi.

Ad esempio io peso j50 kg? Si`, in un altro universo. Qui la mia massa e` abbastanza piu` grande di 50kg, e quindi se immagino di pesare solo 50kg forse diventano j50kg :D

Una qualunque grandezza fisica non mi pare possa essere complessa, a meno che... non si applichi qualche trasformazione su di essa.

Prendiamo una tensione, che e` una grandezza reale, ne facciamo una trasformata di Fourier, ed ecco saltare fuori delle grandezze complesse, enormemente piu` comode che non usare sempre le grandezze originali, non trasformate.

La trasformata di Fourier di una tensione ha le dimensioni di una tensione moltiplicata per un tempo, ci si fanno su calcoli e analisi dimensionale... ma e` solo una rappresentazione comoda di una grandezza reale.
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[27] Re: Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Messaggioda Foto Utentemir » 7 lug 2015, 19:41

PietroBaima ha scritto:Quando, in campo reale...

Foto UtentePiercarlo...te la sei cercata !.. #-o ...ma io dico, come ti vengono certe domande ? ... :mrgreen:
Foto UtentePiercarlo scherzo ... ;-)
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[28] Re: Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Messaggioda Foto Utentecrovax » 7 lug 2015, 20:00

A me piace pensarla come una densità di probabilità :D

https://it.wikipedia.org/wiki/Ampiezza_ ... ilit%C3%A0

In realtà anche in fisica ottica hanno senso i numeri complessi, e servono proprio per considerare i fenomeni di interferenza! ;)
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[29] Re: Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 7 lug 2015, 20:02

IsidoroKZ ha scritto:Significato fisico dei numeri complessi? Nessuno! E non e` uno scherzo :)


E' esattamente il sospetto che avevo... e sono contento di averne una conferma diretta. Almeno, per quanto riguarda i numeri complessi non mi bloccherò più sulla loro natura. Se ci ho capito qualcosa, I numeri complessi non sono nemmeno "immaginari": sono stati proprio INVENTATI per far funzionare alcuni conti senza buttare via quanto già si conosceva per far funzionare tutti gli altri. Può andare così? Altrimenti illuminatemi ancora un po'...

Ciao
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[30] Re: Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

Messaggioda Foto UtentePiercarlo » 7 lug 2015, 20:05

mir ha scritto:
PietroBaima ha scritto:Quando, in campo reale...

Foto UtentePiercarlo...te la sei cercata !.. #-o ...ma io dico, come ti vengono certe domande ? ... :mrgreen:

Foto UtentePiercarlo scherzo ... ;-)



Sono le domande migliori da fare quelle proprio ingenue, ingenue... :-P

CIao
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