Qual è il significato FISICO dei numeri complessi?

[mir]

Sono le domande migliori ...

che sanno fare "i migliori"

[6367]

Dico anche io la mia - sinteticamente - visto che l'argomento mi aveva affascinato molto, sia a scuola, sia al Politecnico. Già al primo anno di Liceo Scientifico mi ero procurato un libro di analisi perché le spiegazioni date a scuola sui numeri complessi per me non erano affatto soddisfacenti (cosa mi obbligò ad anticipare lo studio della trigonometria perché se no non si capiscono le formule di de Moivre).

Allora, quale è il significato fisico dei numeri complessi?
Boh. Un elettrotecnico ti direbbe bla bla, un aeronatico, invece...
Di sicuro è fuorviante la terminologia storica di numero "immaginario" o numero "impossibile".

Forse bisognerebbe definire bene prima cosa sia questo significato "fisico" dei numeri.
E' convenzionale. Certo, il significato fisico dei numeri complessi è meno intuitivo di quello dei numeri reali (associati al processo del "misurare"), e questi hanno un significato meno intuitivo dei numeri naturali (associati al processo del "contare").

Da qui discende anche il bisogno di dare una trattazione rigorosa anche dei numeri reali, razionali, interi, naturali, che per quanto più intuitivi dei numeri complessi non sono del tutto "ovvi".

Tuttavia un appassionato della teoria delle funzioni olomorfe o analitiche, ti direbbe che il numero complesso è molto più "naturale" del numero naturale.

Storicamente i numeri complessi vennero introdotti nel contesto della teoria delle equazioni algebriche: solo nell'ambito dei numeri complessi questa teoria ha la formulazione più completa e convincente (v. teorema fondamentale dell'algebra)

[Fabio992]

Bellissima discussione. In 5 minuti mi sono accorto di non aver capito nulla in 4 anni di ingegneria

[Fabio992]

Non ho capito ancora una cosa, già chiesta da Piercarlo. perché una mattina un giorno un tipo si è svegliato e ha deciso di inventare i numeri complessi? Qual è stata la motivazione storica che ha portato all'introduzione dei numeri complessi? E soprattutto perché sono stati definiti proprio in questo modo?

[gotthard]

perché una mattina un giorno un tipo si è svegliato e ha deciso di inventare i numeri complessi? Qual è stata la motivazione storica che ha portato all'introduzione dei numeri complessi?

Dai un' occhiata su Wikipedia: qui e qui.

[Fabio992]

Grazie. Ora do un occhiata

[PietroBaima]

Ai tempi di Tartaglia erano uno stratagemma per risolvere le equazioni di terzo grado.
Venivano però visti come un limite della formula, piuttosto che un suo pregio.
Questo accadeva perché quella formula prevedeva la moltiplicazione fra due fattori che singolarmente potevano essere complessi, ma, essendo sempre coniugati, avevano un prodotto reale.
In determinate condizioni la formula restava sempre reale, in altre "sconfinava" in campo complesso.

Furono poi rivisti e corretti da moltissimi matematici, fra cui Eulero e Gauss.

[6367]

perché una mattina un giorno un tipo si è svegliato e ha deciso di inventare i numeri complessi?

Per enunciare il teorema fondamentale dell'algebra (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_dell%27algebra).

Questa risposta è semplificativa (i numeri complessi erano stati introdotti prima della formulazione del teorema), ma è sostanzialmente corretta.

E soprattutto perché sono stati definiti proprio in questo modo?

perché così vale il principio di Hankel di permanenza delle proprietà formali delle operazioni.
Oppure perché così i numeri complessi godono di quelle proprietà "magiche" che verranno via via sempre più evidenti man mano che si studia la teoria delle funzioni di variabile complessa.

[6367]

Ai tempi di Tartaglia erano uno stratagemma per risolvere le equazioni di terzo grado.
Venivano però visti come un limite della formula, piuttosto che un suo pregio.

E' Hadamard quel matematico che aveva affermato, più o meno, che la strada più breve tra due realtà reali passa per il complesso?

[PietroBaima]

Sì! Ti piace la storia della matematica!