ElectroYou

In ricerca operativa si studiano queste cose. Alcune riesco a capirle bene altre no. L'indipendenza lineare è una di queste.
Dalle dispense:
Dato un insieme di k vettori $S = \left \{ \mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}}, ... , \mathbf{v_{k}}\right \} \subseteq \mathbb{R}^{n}$ si dice che un vettore

è una combinazione lineare dei vettori di

se esistono

coefficienti $x_{1},x_{2},...,x_{k} \in \mathbb{R}$ per cui risulta
$\mathbf{w} = x_{1} \mathbf{v_{1}} + x_{2} \mathbf{v_{2}} +\cdot \cdot \cdot +x_{k} \mathbf{v_{k}}$

E fin qui tutto bene. Poi
I vettori di un insieme $S = \left \{ \mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}}, ... , \mathbf{v_{k}}\right \} \subseteq \mathbb{R}^{n}$ sono detti tra loro linearmente indipendenti se
$\sum_{j=1}^{k}x_{j} \mathbf{v}_{j}=0=x_{1}=x_{2}=\cdot \cdot \cdot =x_{k}=0$

Ecco, questa proprio non riesco a capirla, non riesco a capirne il senso. Ho questi vettori colonna che sono i coefficienti di questa combinazione lineare, e questi sono linearmente indipendenti se tutto l'ambaradan vale 0? :shock:

Ma che diamine significa?
A me sembra assurdo.

Spero che qualcuno mi aiuti a fare chiarezza perché qui mi sono impantanato completamente.

Significa che l'unico modo per far si che una composizione lineare di vettori linearmente indipendenti faccia zero sia che le componenti x_i

siano tutte zero. Ovvero non puoi scrivere un vettore v_j

nell'insieme come una composizione lineare degli altri vettori.

: gorilla-perplesso.jpg (9.16 KiB) Osservato 7591 volte

$\mathbf{v_1} = (1,0,1)$ $\mathbf{v_2} = (0,1,0)$ $\mathbf{v_3} = (2,1,2)$
Si ha che $\mathbf{v_3}$ non è linearmente indipendente perché esiste una combinazione lineare $x_1\cdot \mathbf{v_1} + x_2 \cdot \mathbf{v_2}= x_3\cdot \mathbf{v_3}$ con cui si può ricavare. In particolare per x_1=2, x_2=1, x_3=1

.
Questo è chiaro?

Ora considera:
$\mathbf{v_1} = (1,0,1)$ $\mathbf{v_2} = (0,1,0)$ $\mathbf{v_3} = (2,2,0)$
Si ha che $\mathbf{v_3}$ è linearmente indipendente perché esiste non una combinazione lineare $x_1\cdot \mathbf{v_1} + x_2 \cdot \mathbf{v_2}$ per cui si ottenga $\mathbf{v_3}$ . In particolare si può dire che
$x_1\cdot \mathbf{v_1} + x_2 \cdot \mathbf{v_2} = x_3 \cdot \mathbf{v_3}$ si ha solo quando x_1 = x_2 = x_3 = 0

. Questo caso se noti è sempre possibile per questo non è utile nel capire se dei vettori siano o meno linearmente indipendenti. Essendo l'unica soluzione possibile diciamo che $\mathbf{v_3}$ è linearmente indipendente.

Sei sicuro della notazione? Non che sia sbagliata, ma si può dire meglio (secondo me):

TardoFreak ha scritto:I vettori di un insieme $S = \left \{ \mathbf{v_{1}}, \mathbf{v_{2}}, ... , \mathbf{v_{k}}\right \} \subseteq \mathbb{R}^{n}$ sono detti tra loro linearmente indipendenti quando
$\sum_{j=1}^{k}x_{j} \mathbf{v}_{j}=0 \iff x_{1}=x_{2}=\cdot \cdot \cdot =x_{k}=0$

Il succo è lo stesso, ma magari capisci meglio il senso della definizione.

Boiler

Ed è anche più corretta formalmente. Altrimenti stabiliamo un'uguaglianza tra uno zero vettoriale e uno zero scalare. Per carità cambia poco però non è molto elegante. :mrgreen:

fairyvilje ha scritto: $\mathbf{v_1} = (1,0,1)$ $\mathbf{v_2} = (0,1,0)$ $\mathbf{v_3} = (2,1,2)$
Si ha che $\mathbf{v_3}$ non è linearmente indipendente perché esiste una combinazione lineare $x_1\cdot \mathbf{v_1} + x_2 \cdot \mathbf{v_2}= x_3\cdot \mathbf{v_3}$ con cui si può ricavare. In particolare per .
Questo è chiaro?

No. Non mi sono chiari:
Perché x_1=2, x_2=1, x_3=1

?

In generale forse avrei bisogno di una spiegazione molto dettagliata, passo per passo, quasi pedante.
Scusatemi ma sono limitato.
Sicuramente tutto quello che avete scritto (e vi ringrazio tantissimo per questo) è giusto ma, come detto prima, avrei bisogno di una spiegazione a misura di deficiente (cioè io).

Uhm, vediamo un po'
Hai cercato (o in qualche modo calcolato) un valore per $x_{1}$ e per $x_{2}$ in modo da eguagliare $x_{3}$ ?
Ed avendolo trovato questo ti ha fatto dire che $\mathbf{v_{3}}$ non è linearmente indipendente?

ElectroYou

[Algebra lineare] Indipendenza lineare.

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Re: [Algebra lineare] Indipendenza lineare.

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