ElectroYou

Ciao :) ho un dubbio piuttosto imbarazzante riguardo alla trasformata di fourier e vi chiedo scusa in anticipo se la domanda e' stupidissima! Ho svolto tanti esercizi sulla trasformata di fourier , utilizzando la definizione con l'integrale ( quella con $\frac{1}{ \sqrt (2)\pi }$ . Ora però mi trovo a dover risolvere degli esercizi che invece , per effettuare la trasformata di fourier , utilizzano la tabella delle trasformate notevoli . Ho provato ad effettuare comunque l'integrale e mi sono venuti fuori risultati diversissimi :shock:

a questo punto non ho idea di quando fare l'integrale e quando invece utilizzare le trasformate notevoli. Ho letto che per poter svolgere l'integrale la funzione deve essere sommabile ma non ci ho capito molto :oops:

per esempio dovendo svolgere la trasformata di $e^{2 + t} u(1-t)$ io avrei tolto il gradino, il cui integrale nn è calcolabile e avrei scritto $\frac{e^{(2+t)}}{2}$ #-o

è a questo punto avrei fatto l'integrale di questo moltiplicato per e^-jkf_0t

ellosma ha scritto:Ho letto che per poter svolgere l'integrale la funzione deve essere sommabile ma non ci ho capito molto

In altre parole il sistema deve essere stabile.

Le proprietà e le trasformate notevoli derivano direttamente dalle proprietà ed integrali notevoli...

Quindi i due flussi di calcolo dovrebbero essere equivalenti, il vantaggio delle proprietà è che non devi portati dietro tutta la notazione integrale.

Provo a svolgere il tuo esempio per mezzo delle proprietà:

$\mathcal{F}\left \{ e^{2+t}u(1-t) \right \}$

portiamo fuori la costante esponenziale

$e^2\mathcal{F}\left \{ e^{t}u(1-t) \right \}$

aggiungiamo e togliamo 1 all'esponenziale interno

$e^2\mathcal{F}\left \{ e^{t-1+1}u(1-t) \right \}$

portiamo fuori la costante di Eulero e mettiamo in evidenza -1 nel gradino

$e^3\mathcal{F}\left \{ e^{t-1}u(-(t-1)) \right \}$

applichiamo la proprietà di traslazione temporale (o di spazio ordinario)

$e^3 e^{-ik}\mathcal{F}\left \{ e^{t}u(-t) \right \}$

l'operando della trasformata è un impulso esponenziale specchiato rispetto alle ordinate, quindi notevole...

$e^{3-ik}\frac{1}{1-ik}$

Ora applicando la definizione, la costante di proporzionalità la scarico all'antitrasformata...

$\mathcal{F}\left \{ e^{2+t}u(1-t) \right \}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2+t}u(1-t)e^{-ikt}dt$

il gradino annulla l'integrando per tutte quelle t maggiori di 1, quindi

$e^2\int_{-\infty}^{1}e^{t}e^{-ikt}dt$

metto la t in evidenza e trovo un integrale banale

$e^2\int_{-\infty}^{1}e^{(1-ik)t}dt$

integrando e valutando

$e^{3-ik}\frac{1}{1-ik}$

Potrei aver detto sciocchezze, O_/

ellosma ha scritto: ......per esempio dovendo svolgere la trasformata di $e^{2 + t} u(1-t)$ io avrei tolto il gradino, il cui integrale non è calcolabile e avrei scritto $\frac{e^{(2+t)}}{2}$ è a questo punto avrei fatto l'integrale di questo moltiplicato per e^-jkf_0t

Non si toglie proprio nulla. Se calcoli l'integrale vari gli estremi di integrazione in funzione dell'argomento.
Se ti vengono risultati diversi tra integrazione diretta ed applicazione delle proprietà della trasformata hai sbagliato i calcoli da qualche parte.
La sommabilità non ha nulla a che fare con la differenza tra i due metodi ma è un prerequisito per la definizione.

Non capisco perché continui ad utilizzare la notazione $e^{-jkf_0t}$ ( che tra le altre cose dovrebbe essere $e^{-j 2\pi k f_0 t}$ ) quando il semplice $e^{-j \omega t}$ evita di portarsi dietro simboli che aumentano la probabilità di perdere qualcosa per strada nello svolgimento dei calcoli.

dimaios ha scritto:quando il semplice $e^{-j \omega t}$ evita di portarsi dietro simboli che aumentano la probabilità di perdere qualcosa per strada nello svolgimento dei calcoli.

sante parole.

dimaios ha scritto:Non capisco perché continui ad utilizzare la notazione $e^{-jkf_0t}$ ( che tra le altre cose dovrebbe essere $e^{-j 2\pi k f_0 t}$ ) quando il semplice $e^{-j \omega t}$ evita di portarsi dietro simboli che aumentano la probabilità di perdere qualcosa per strada nello svolgimento dei calcoli.

Spesso chi utlizza $\omega$ , tipicamente i fisici ( :-P

), usa una normalizzazione diversa ( $1/\sqrt{2\pi}$ ) della trasformata di Fourier rispetto a chi utilizza $2\pi f$ . Io sono un fan del $2\pi f$ , perché le pulsazioni non mi interessano, non si leggono su un analizzatore di spettro.

DirtyDeeds ha scritto: Io sono un fan del $2\pi f$ , perché le pulsazioni non mi interessano, non si leggono su un analizzatore di spettro.

Adesso faccio un po' io il provcatore...
Quindi fai tutti i conti con $\omega$ e poi sostituisci il $2\pi f$ alla fine oppure riesci a non perderti nulla per strada ?

Faccio i conti con $2\pi f$ se faccio l'elettronico, con $\omega$ quando mi travesto da fisico (ma poi faccio ancora i conti?). :cool:

Comunque ho sempre avuto la fortuna di riuscire a non perdermi troppi pezzi per strada :-)

DirtyDeeds ha scritto:Comunque ho sempre avuto la fortuna di riuscire a non perdermi troppi pezzi per strada

Ti invidio tantissimo, soprattutto perché la tua non è fortuna :!:

PietroBaima ha scritto:Ti invidio tantissimo, soprattutto perché la tua non è fortuna

E' veramente pura fortuna. Io riesco a vedere abbastanza bene i pezzi mancanti, o in generale gli errori di una formula o di un procedimento, ma in compenso magari non capisco una mazza di quello che c'è scritto. Vado bene per fare il correttore di bozze, diciamo :lol:

ElectroYou

Trasformata di fourier : integrale o trasformate notevoli?

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