ElectroYou

Salve a tutti.

Sto incontrando difficoltà nella risoluzione della tipologia di esercizi indicata in oggetto.
In riferimento al testo che ho allegato, per prima cosa disegno il segnale u(t).
Il segnale è composto da una serie di finestre rettangolari che si alternano.
Entrambe hanno durata T/2, quella con ampiezza 1 è centrata nel punto -T/4, quella con ampiezza 2 nel punto +T/4.
Quindi posso scrivere un possibile generatore del segnale:

ug(t) = II((t+ T/4) / T/2) + 2II((t- T/4) / T/2)

Del segnale generatore posso calcolare la trasformata di Fourier che è:

Vg(f) = F(vg(t)) = A(T/2)sinc (f(T/2) )e(j2pif T/4) + 2A(T/2)sinc (f(T/2)e(-j2pif T/4)

Grazie alla relazione che lega la trasformata con la serie di Fourier, posso calcolare i coefficienti della serie
che valgono: (1/T)Vg(k/T)

La serie di Fourier è data da:
vk = (1/2)sinc(k/2)e(j2pik/4)+sinc(k/2 )e(-j2pik/4)

Adesso come faccio a calcolare l'uscita del filtro passa basso in risposta al segnale u(t) e la sua potenza media?

Scrivi le formule in latex, cosi` sono illeggibili.

Mi sembra complicato passare per la trasformata di Fourier, tant'e` vero che mi pare che abbia perso per strada il termine costante.

Se sottrai al segnale originale il valore costante 1.5 hai un'onda quadra di cui si conosce lo sviluppo in serie. Se lo conosci solo in termini di seni e coseni, vedi che i coseni non ci sono dato che stai sviluppando una funzione dispari, e ci sono solo i seni di multipli dispari con ampiezza relativa 1/n.

A questo punto puoi scrivere i seni come somma di esponenziali, poi prendi solo quelli che passano attraverso il filtro, e hai lo sviluppo in serie dell'uscita del filtro, dalla quale puoi calcolare facilmente la potenza.

ultrasound91 ha scritto:come faccio a calcolare l'uscita del filtro passa basso in risposta al segnale

Convoluzione nel dominio del tempo, o moltiplicazione delle trasformate di Fourier.
In altre parole è il teorema della convoluzione.

Sinceramente vorrei imparare a usare correttamente la trasformata ed evitare i calcoli di integrali. Durante l'esame e' possibile usare solo il formulario delle trasformate.

Scrivo il segnale generatore di u(t):
$u_{g}(t) = rect(\frac{t + T/4}{T/2}) + 2rect(\frac{t - T/4}{T/2})$

Del segnale generatore posso calcolare la trasformata di Fourier che è:

$V_{g}(f) = F(u_{g}(t)) = A(\frac{T}{2})sinc(f\frac{T}{2})e^{j2pif\frac{T}{4}}+2A(\frac{T}{2})sinc (f\frac{T}{2})e^{-j2pif\frac{T}{4}}$

Grazie alla relazione che lega la trasformata con la serie di Fourier, posso calcolare i coefficienti della serie
che valgono:
$\frac{1}{T}V_{g}(\frac{k}{T})$

I coefficienti della Serie di Fourier in forma esponenziale sono dati da:
$vk = (\frac{1}{2})sinc(\frac{k}{2})e^{\frac{j2pik}{4}}+sinc(\frac{k}{2})e^{\frac{-j2pik}{4}}$

Da quest'ultima relazione so che:
per k = 0, il coefficiente vale 3/2
per tutti i valori che fanno diventare l'argomento del sinc un valore intero, quindi per valori |k| > 1, con k pari, il il coefficiente vale 0

Sto cercando di capire se c'è un modo semplice per passare dai coefficienti della serie in forma esponenziale a quelli della serie trigonometrica.

Devi rigirarti come ti servono queste:

$\cos \left( \phi \right)=\frac{e^{j\phi }+e^{-j\phi }}{2}$

$\sin \left( \phi \right)=\frac{e^{j\phi }-e^{-j\phi }}{2j}$

che sicuramente conoscerai.

ElectroYou

Risoluzione esercizi con filtri e risposte in frequenza

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