ElectroYou

Salve a tutti amici, avrei il seguente quesito da proporvi:


In generale abbiamo che


Allora

[ ponendo ]

Riscrivendo quindi abbiamo che:



ma vale anche il viceversa ?




Grazie mille a tutti.

provo a rispondere ma sono scarsissimo:

Secondo me ci sono un po' di puntini sulle i da mettere:

subliminal ha scritto:In generale abbiamo che

Credo tu voglia dire:

In caso contrario bisogna specificare se , altrimenti è una costante se integrata in
Da qui poi tutto il resto. Chiarisci prima questo e poi andiamo avanti

Si in effetti è un errore di battitura

E' cosi:

Questa è una bella domanda e non ha una risposta banale. La continuità e la linearità degli operatori derivata e integrale consentono la libera composizione, e quindi "volgarmente", passarli uno dentro l'altro. Il problema è capire quando sono continui e lineari. Per fortuna quello che scrivi va bene nella maggior parte delle funzioni "utili" che ti capitano a tiro. In generale però è falso.

subliminal ha scritto:Si in effetti è un errore di battitura

Allora conviene che riscrivi tutto controllando gli errori di battitura

fairyvilje ha scritto:La continuità e la linearità degli operatori derivata e integrale consentono la libera composizione, e quindi "volgarmente", passarli uno dentro l'altro. Il problema è capire quando sono continui e lineari. Per fortuna quello che scrivi va bene nella maggior parte delle funzioni "utili" che ti capitano a tiro. In generale però è falso.

fairyvilje hai ragione quando dici di fare attenzione, però questi operatori sono sempre continui e lineari. sono gli argomenti passati a questi operatori che possono non essere continui e lineari. Il succo operativamente parlando è lo stesso, ma concettualmente è diverso.
Quindi, in generale è vero, nelle opportune condizioni di esistenza degli argomenti.

Non concordo, dipende dallo spazio di definizione degli operatori. Su alcuni spazi di funzione sono lineari e continui su altri no, a parità di definizione, e questo dipende dalla struttura dello spazio, non solo dell'operatore. Un esempio banale che può essere velocemente ricondotto alla variante integrale con funzioni persino continue ed infinitamente derivabili (...).





Addio continuità.

Vedi che l'esempio che hai fatto dimostra esattamente quello che ho detto. E' la funzione f che non è continua in partenza. Non è la sommatoria che a volte è continua (o lineare) e a volte no è l'argomento.
E' come se dicessi che l'operatore '+' a volte è lineare e a volte no.

E quindi un integrale non può esistere per funzioni discontinue? :)
Solo perché lo si definisce su un insieme ridotto di funzioni per le quali ha buone proprietà non significa che sia sempre così guardando più in largo :)
Allora facciamo questa.





Edit: Corrette funzioni

fairyvilje ha scritto:E quindi un integrale non può esistere per funzioni discontinue? :)

Certo che esiste, però bisogna fare attenzione a cosa si integra e entro che dominio.

fairyvilje ha scritto:Allora facciamo questa.

Sempre lo stesso discorso...f è discontinua in partenza, non è l'integrale ad esserlo.
Se la definizione dell'integrale/derivata fosse dipendente dal dominio non si potrebbe definire il metodo di integrazione per parti.
Ancora, il limite non è un operatore lineare (per la verità non è nemmeno un operatore), quindi non è per colpa dell'integrale che non puoi fare la composizione. Prova a fare lo stesso discorso con due operatori lineari, ad esempio la definizione dell'integrale per parti.