ElectroYou

Ciao a tutti, sto tentando di risolvere il seguente esercizio :

Dato il segnale $x(t) = e^{-kt} cos(2 \pi f_0 t)$ per $0 \le t \le +\infty$ e k>0

, calcolare valore medio, energia e potenza.

Per esercitarmi sto provando a risolvere gli esercizi sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza (con la trasformata di Fourier) per vedere se ottengo risultati concordi. Ad esempio, per il valor medio nel dominio del tempo ho fatto così:

$x_m = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) dt \lim_{T \to+\infty} \frac{1}{T} = \int_{0}^{+\infty} x(t) dt \lim_{T \to+\infty} \frac{1}{T}$

Innanzitutto è lecito portare l'integrale fuori dal limite cambiando gli estremi di integrazione?
Per quanto riguarda il fatto che l'estremo inferiore passa da $-\infty$ a

è dovuto al fatto che il testo mi dice che la funzione è definita per $0 \le t \le +\infty$ , ho fatto bene no? Continuando prendo a parte l'integrale :

$\int_{0}^{+\infty} e^{-kt} cos(2 \pi f_0 t) dt = \int_{0}^{+\infty} e^{-kt} \left(\frac{e^{j2 \pi f_0 t}+e^{-j2 \pi f_0 t}}{2} \right) dt$

$= \frac{1}{2} \left(\int_{0}^{+\infty} e^{(-k+j2 \pi f_0)t} dt + \int_{0}^{+\infty} e^{(-k-j2 \pi f_0)t} dt \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \left[ \frac{e^{(-k+j2 \pi f_0)t}}{-k+j2 \pi f_0} \right]_{0}^{+\infty} + \left[ \frac{e^{(-k-j2 \pi f_0)t}}{-k-j2 \pi f_0} \right]_{0}^{+\infty} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( - \frac{1}{-k+j2 \pi f_0} - \frac{1}{-k-j2 \pi f_0} \right)$

$= \frac{1}{2} \frac{2k}{k^2+4 \pi^2 f_0^2}$

Tornando infine al prodotto dell'integrale per il limite si ha che :

$\frac{1}{2} \frac{2k}{k^2+4 \pi^2 f_0^2} \lim_{T \to+\infty} \frac{1}{T} = 0$

Adesso su questo ho qualche dubbio nato dall'osservazione della formula iniziale :

Il prodotto dell'integrale per il limite farà sempre zero se ~~il limite~~ l'integrale converge (e non si annulla). Il caso in cui l'integrale si annulla (in teoria) non dovrebbe verificarsi mai perché altrimenti significherebbe che il segnale da studiare è un segnale costantemente nullo (giusto?). Quindi l'unico caso in cui il valore medio è non nullo si ha quando l'integrale diverge, ma questo si verifica solo se il segnale è periodico no? Quindi se il mio ragionamento è corretto, non è necessario svolgere i calcoli ma è sufficiente stabilire se il segnale è periodico o no per sapere quanto vale la media del segnale(?) Ovviamente se il segnale è periodico dovrò andare a calcolare l'integrale per sapere il valore esatto.

Per ora mi fermo qui in attesa di risposte ai miei dubbi, poi continuo con gli altri calcoli e chiarimenti. Spero in una vostra risposta :ok:

$x_m = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) dt \lim_{T \to+\infty} \frac{1}{T} = \int_{0}^{+\infty} x(t) dt \lim_{T \to+\infty} \frac{1}{T}$

Che senso ha sostituire il valore al limite sugli estremi ? [-X

Prima calcoli l'integrale e poi fai tendere $T \to+\infty$ .

Le altre considerazioni sono prive di senso.
In generale lo scambio di integrali limiti derivate ecc. sono regolati in modo ineludibile da specifici teoremi.
Per avere un'idea del fatto che lo scambio non è in generale lecito leggi questo.

Grazie mille per la risposta e per il link (che mi è stato utile a chiarire alcuni dubbi). In effetti ero alquanto dubbioso su una cosa del genere ed infatti si è rivelata errata.

Il problema che mi ha fatto arrivare a questa soluzione (sbagliata) è dovuta al fatto che ci sono alcuni segnali particolari (ad esempio il sinc) di cui conosco il valore dell'integrale da $-\infty$ a $+\infty$ ma non ho nessuna conoscenza del valore in un determinato intervallo parametrico..

Svolgendo normalmente l'integrale dell'esercizio proposto (utilizzando le formule di Eulero), integrando tra $-\frac{T}{2} ; \frac{T}{2}$ e poi passando al limite riesco a calcolare quello che mi serve, però il problema nasce quando ho altre funzioni..ad esempio, l'esercizio seguente mi da il segnale :

$x(t) = \frac{k}{2} sinc^2(kt) + e^{-kt} cos(2 \pi f_0 t)$

In questo caso posso splittare l'integrale in due, così il secondo integrale è quello calcolato prima però non so proprio come procedere per il primo..non chiedo la risoluzione esplicita (anche perché poi l'esame dovrò andarlo a fare io) ma piuttosto un metodo da seguire per capire come trattare tutte quelle "nuove" funzioni che sono state introdotte nel corso di teoria dei segnali come appunto sinc(.),tr(.),rect(.),ecc..

Chiamiamo

la prima parte del segnale e riscriviamolo in un altro modo.

$x_1(t) = \frac{k}{2} sinc^2(kt) = \frac{k}{2} sinc(kt) \cdot sinc(kt)$

A cosa equivale in frequenza il prodotto di due sinc

nel dominio del tempo ?
Alla convoluzione di due rect

che è un triangolo da cui ........ :idea:

dimaios ha scritto:Chiamiamo la prima parte del segnale e riscriviamolo in un altro modo.

$x_1(t) = \frac{k}{2} sinc^2(kt) = \frac{k}{2} sinc(kt) \cdot sinc(kt)$

A cosa equivale in frequenza il prodotto di due nel dominio del tempo ?
Alla convoluzione di due che è un triangolo da cui ........

Dunque, guardando negli appunti ho trovato che in generale :

$sinc^2(\frac{t}{T}) = |T| tr(Tf)$

Quindi, se la formula è giusta, posso riscrivere il segnale x_1(t)

nel dominio della frequenza (quindi cambiando la variabile tra parentesi) come :

$x_1(f) = \frac{k}{2} \cdot \frac{1}{k} \cdot tr(\frac{f}{k}) = \frac{1}{2} \cdot tr(\frac{f}{k})$

Domanda: Quindi in questo modo stiamo affermando che la funzione sinc^2(kt)

nel dominio del tempo può essere esplicitata in forma diversa nel dominio della frequenza tramite la funzione triangolare? In questo modo, quando calcolo ad esempio l'integrale per il valore medio avrò :

$<x_m> \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x_1(t) dt = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x_1(f) df$

Seconda domanda: Dato che siamo passati dal dominio del tempo al dominio della frequenza, gli estremi di integrazione non cambiano? perché?

Scusate se scrivo un'altra risposta ma non posso più modificare il messaggio precedente per inserire quest'altra considerazione.

Leggendo gli appunti mi sto convincendo man mano che quello che ho scritto poco fa è altamente sbagliato..il segnale x(t)

non è uguale alla sua trasformata di Fourier..

Il segnale posso riscriverlo tramite l'equazione di analisi come :

$x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) \cdot e^{j2\pi ft} df$

Quindi tornando all'esercizio di prima, sappiamo che il segnale :

$x_1(t) = \frac{k}{2} sinc^2(kt)$

può essere trasformato con Fourier in :

$X_1(f) = \frac{1}{2} \cdot tr \left(\frac{f}{k}\right)$

Quindi, per calcolare il valor medio del solo segnale x_1(t)

devo :

$<x_m> = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x_1(t) dt = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2} \cdot tr \left(\frac{f}{k}\right) e^{j2\pi ft} df \right) dt$

Dunque, questo impulso triangolare ha altezza pari a $\frac{1}{2}$ , è centrato nell'origine ed ha ampiezza pari a

, cioè così:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

In particolare è simmetrico rispetto all'orgine pertanto l'area calcolata tra $[\frac{-k}{2};0]$ è esattamente la stessa di quella che si ha tra $[0,\frac{k}{2}]$ , quindi posso (?) restringere l'integrale a $[0,\frac{k}{2}]$ e moltiplicare per

:

$... = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} 2 \cdot \left( \int_{0}^{+\frac{k}{2}} \frac{1}{2} \cdot tr \left(\frac{f}{k}\right) e^{j2\pi ft} df \right) dt$

Sapendo che l'impulso triangolare centrato nell'origine è definito come :

$A \cdot tr \left(\frac{t}{T} \right) = A \cdot \left(1-\frac{|t|}{\frac{T}{2}} \right) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {-\frac{T}{2}<t<\frac{T}{2}}$

mentre vale zero al di fuori dell'intervallo. Sostituendo :

$... = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} 2 \cdot \left( \int_{0}^{+\frac{k}{2}} \frac{1}{2} \cdot \left(1- \frac{f}{\frac{k}{2}} \right) \cdot e^{j2\pi ft} df \right) dt$

$... = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \int_{0}^{+\frac{k}{2}} \left(1- \frac{f}{\frac{k}{2}} \right) \cdot e^{j2\pi ft} df \right) dt$

$... = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left( \int_{0}^{+\frac{k}{2}} e^{j2\pi ft} df - \frac{2}{k}\int_{0}^{+\frac{k}{2}} f \cdot e^{j2\pi ft} df \right) dt$

Se i miei calcoli sono corretti ottengo una cosa del genere :

$... = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \left(- \frac{1}{j 2 \pi t} + \frac{e^{j \pi k t}}{2 \pi^2 k t^2} - \frac{1}{2 \pi^2 k t^2} \right) dt$

Splittando gli integrali :

$... = \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{T} \left( - \frac{1}{j 2 \pi} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{t} dt + \frac{1}{2 \pi^2 k} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{e^{j \pi k t}}{t^2} dt - \frac{1}{2 \pi^2 k} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \frac{1}{t^2} dt \right)$

ecc...è giusto fare così? il procedimento mi sembra alquanto macchinoso e non so nemmeno se è corretto..continuo a non capire

oiram92 ha scritto:
Leggendo gli appunti mi sto convincendo man mano che quello che ho scritto poco fa è altamente sbagliato..il segnale non è uguale alla sua trasformata di Fourier..

Appunto.

Secondo me stai complicando inutilmente le cose.
La media di un segnale nel tempo corrisponde al valore della sua trasformata di Fourier nell'origine.
perché non utilizzare i teoremi visto che sono utili ? ;-)

dimaios ha scritto:
oiram92 ha scritto:
Leggendo gli appunti mi sto convincendo man mano che quello che ho scritto poco fa è altamente sbagliato..il segnale non è uguale alla sua trasformata di Fourier..

Appunto.

Secondo me stai complicando inutilmente le cose.
La media di un segnale nel tempo corrisponde al valore della sua trasformata di Fourier nell'origine.
perché non utilizzare i teoremi visto che sono utili ?

credevo che quel teorema fosse applicabile soltanto se il segnale è periodico, quindi non è così? Si può applicare a qualsiasi segnale (periodico e non)?

oiram92 ha scritto: credevo che quel teorema fosse applicabile soltanto se il segnale è periodico

E dove hai letto le ipotesi di questo teorema :?:

dimaios ha scritto:E dove hai letto le ipotesi di questo teorema

Da nessuna parte, in effetti il mio libro non lo presenta proprio come "teorema" ma come esempio applicativo nel capitolo dei segnali periodici e quindi (a quanto pare erroneamente) avevo associato quel breve esempio ad una cosa applicabile solo ai segnali periodici. Infatti non è che si sforzi più di tanto a spiegare come trattare questi esercizi..a parte qualche piccolo esempio sul valore medio (si trovano solo nel capitolo dei segnali periodici, poi non ne fa più cenno nel resto del libro) e qualche altro sull'applicazione del teorema di Parseval, non ci sono altre cose che spiegano i metodi di calcolo di questi parametri..

PS: il mio libro è il "M. Luise, G. M. Vitetta - Teoria Dei Segnali" non è che ne avresti da consigliare uno che reputi migliore? Grazie per la tua disponibilità

ElectroYou

Parametri di un segnale determinato

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