ElectroYou

Buongiorno,

sempre sull'argomento del passaggio dal dominio in S a quello in Z chiedo se c'è una regola per capire quando è meglio utilizzare una trasformazione approssimata di un tipo o di un altro. Ovvero come nel mio argomento precedente chiedo se c'è una regola per dire utilizzo Tustin oppure Eulero a seconda del tipo di F(S).

Saluti
Roberto

Penso sia utile il cap.17.

roby64 ha scritto: chiedo se c'è una regola per capire quando è meglio utilizzare una trasformazione approssimata di un tipo o di un altro.

Tra il metodo di Tustin e il metodo di Eulero (differenze all'indietro) il preferibile è sempre il metodo di Tustin perché la trasformazione bilineare mappa la regione di stabilità a tempo continuo $\text{Re } s < 0$ nell'intera regione di stabilità a tempo discreto |z|<1

, cosa che invece non succede con le differenze all'indietro.

Eulero

È molto semplice provare quanto detto, basta studiare il luogo dei punti del piano complesso a $\text{Re } s < 0$ trasformati secondo la relazione che definisce l'approssimazione di Eulero (differenze all'indietro): $s\approx (z-1)/(Tz)$ , dove

naturalmente è il tempo di campionamento.

A tal proposito, conviene esprimere in forma algebrica la variabile a tempo discreto $z=\sigma+\text{j}\omega$ , conseguentemente l'approssimazione alla Eulero all'indietro della variabile a tempo continuo

si scrive nel seguente modo

$s\approx \frac{z-1}{Tz}\bigg|_{z=\sigma+\text{j}\omega}=\frac{\sigma(\sigma-1)+\omega^2+\text{j}\omega}{T(\sigma^2+\omega^2)}$

da questa espressione si capisce che i punti

nella regione di stabilità a tempo continuo soddisfano la seguente relazione

$\frac{\sigma(\sigma-1)+\omega^2}{T(\sigma^2+\omega^2)}<0$

che, con un po' di semplice algebra, si può riscrivere come

$\left(\sigma-\frac{1}{2} \right)^2+\omega^2-\frac{1}{4}<0 \qquad (1)$

questa è l'espressione cartesiana di un cerchio di raggio 1/2

e centro in 1/2

(ovviamente espressa nel piano complesso a tempo discreto), quindi, CVD, la regione di stabilità a tempo continuo secondo il metodo di Eulero non viene mappata interamente nella regione di stabilità a tempo discreto.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Ti faccio notare che l'immagine della funzione di campionamento di Eulero z=1/(1-Ts)

, espressa dalla (1)

, non dipende dal tempo di campionamento, quindi al variare del parametro

la circonferenza nel piano

non varia.

Tustin

Viceversa, l'approssimazione alla Tustin sfrutta completamente la regione di stabilità a tempo discreto. Per convincersene si può procedere seguendo la falsariga data dal precedente caso. Quindi

$s\approx \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}\bigg|_{z=\sigma+\text{j}\omega}\quad\xrightarrow{\text{Re } s < 0} \quad \sigma^2+\omega^2<1 \qquad (2)$

adesso l'immagine della funzione di campionamento di Tustin z=(1+sT/2)/(1-sT/2)

, espressa dalla (2)

, è un cerchio di raggio

e centro

, per cui, CVD, coincide con la regione di stabilità a tempo discreto.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Dipende da cosa vuoi approssimare.
Per esempio se vuoi rendere appetibile una derivata in Z ( :shock:

) non va bene neanche Tustin ma è meglio utilizzare approssimazioni di altro tipo come la Al-Alaoui.

Fondamentalmente invece di sostituire

$s = \frac{2(z-1)}{T(z+1)}$

esegui la sostituzione

$s = \frac{8(z-1)}{7T(z+\frac{1}{7})}$

Per comprendere il perché bisogna studiare la teoria dei differenziatori frazionali ma in questo contesto non importa, la cosa da capire è l'obiettivo della discretizzazione.

- Preservare la stabilità
- Mappare i poli e zeri 1:1 tra continuo e discreto
- Velocità di calcolo
- Semplicità del filtro digitale risultante ( minimo ordine )
- Riprodurre il più possibile la trasformata di Fourier tra continuo e discreto all'interno della frequenza di Nyquist
- ecc.

Non puoi preservare contemporaneamente queste caratteristiche ma devi scegliere quale per te è più rilevante ; da questa scelta deriva direttamente il metodo di discretizzazione.

La mappatura tra il dominio di Laplace e quello della Z-Trasformata è sempre e comunque un'approssimazione.

Leggi il seguente documento, è ben fatto.

cse.lab.imtlucca.it/~bemporad/teaching/controllodigitale/pdf/10a-discretizzazione.pdf

Grazie Dimaios

Ho visto le risposte anche all'altro argomento che è collegato ovviamente a questo. In realtà non ci sarebbe uno scopo diretto nella discretizzazione ma indiretto. Mi spiego meglio. Ho a che fare con diversi fornitori di sistemi tra cui sistemi di controllo. Non sempre le prestazioni sono perfette e cercavo di investigare un po per vedere se è possibile qualche ottimizzazione. I sistemi sono gestiti con PLC e normalmente utilizzano degli algoritmi PID.
Per cui avendo a disposizione il modello matematico mi costruisco un sistema in retroazione inserendo il regolatore PID. Quindi attualmente l'unico esercizio che posso fare è passare al discreto (in excel) e vedere cosa succede. Per questo mi servirebbe capire quale trasformazione funziona meglio per verificare "off line" il processo.

Grazie ancora per i suggerimenti che mi hai proposto

Preciso che:
1. Per simulare i sistemi dinamici è meglio impiegare Octave. Excel non è lo strumento giusto per simulare questo tipo di sistemi.

2. Nei PID il derivatore non è mai puro ma la funzione di trasferimento contempla anche un filtro passa basso del primo ordine.

3. Bisogna valutare se il PID è oggettivamente un controllore in grado di soddisfare le specifiche oppure si deve ricorrere ad altri tipi di controllo.

Non sapevo nulla di Octave e quindi lo proverò senz'altro.
Per le altre due precisazioni sono d'accordo con te. Tuttavia e purtroppo, per la terza, non posso fare altro che prima dimostrare in qualche modo al fornitore che il problema è nel PID (o dovunque esso sia) e poi magari passare alla modifica (che non è detto che poi sia possibile principalmente per motivi che esulano dall'aspetto tecnico).

In linea teorica un controllo di temperatura ambientale potrebbe essere regolato con il PID con discreti risultati. Magari è la scelta dei parametri che più che altro mi sembra dettata dalla fretta di consegnare piuttosto che da una attenta osservazione del processo.

Ciao

Se il processo da controllare è termico con la dinamica dell'ambiente in generale il PID è una soluzione più che plausibile tranne il caso in cui si abbiano rilevamenti multipli della temperatura in diversi punti e più sorgenti termiche da controllare per raggiungere un certo set.

Ok e quindi nel caso di rilevamenti multipli cosa suggerisci?
Per tornare poi al quesito iniziale, più o meno noto un modello matematico (es. primo ordine o secondo ordine) aggiungo il pid nella retroazione, se applico Tustin o Al-Alaoui come mi suggerivi, per fare una valutazione qualitativa (usando sempre excel purtroppo per il momento) potrei ottenere un risultato anche fosse soltanto discreto o sufficiente? Oppure quello che ottengo è totalmente fuorviante?

1. Per quanto riguarda il multi rilevamento devi specificare quante sorgenti di calore, quanti punti di rilevamento e quanti set-point cioè quante temperature devi controllare.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Nel disegno è stato rappresentato un ambiente generico ove sono illustrate le sorgenti di calore S_i

i rilevatori T_i

ed i punti ove si vuole imporre la temperatura R_i

.

Devi specificare :

A) Le caratteristiche geometriche e fisiche dell'ambiente.
B) Quante e dove sono le sorgenti termiche e come sono fatte ( modello fisico dell'emettitore di energia)
C) Quanti e dove sono i punti di rilevamento termico ( modello fisico del sensore )
D) Quanti e dove sono i punti dove vuoi imporre la temperatura ambientale.

A questo punto si può iniziare a fare un discorso serio per impostare la soluzione del problema.

2. Se approssimi con una tecnica che ti evita l'instabilità numerica puoi fare i calcoli anche con Excel anche se non è un metodo ortodosso.

ElectroYou

Trasformate Laplace - Trasformate Z

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