ElectroYou

Ho un problema con questo esercizio.
$\begin{cases} y'(x)=|y(x)-4x| &\\ y(0)=1 & \end{cases}$
Mi viene chiesto di determinare se è globalmente Lipschitziana quindi applico la definizione
$|f(x,y_1)-f(x,y_2) \leq L|y_1-y_2|$
quindi
$||y_1-4x|-|y_2-4x|\leq 1|y_1-4x-y_2-4x|$ quindi posso dire che è globalmente Lip.
Per risolverla la restringo prima in una striscia U(0,1)

quindi

e quindi posso togliere il modulo.
$|y(x)-4x| \Rightarrow y-4x$ . $y'=y-4x \Rightarrow y'-y=4x$ quindi la risolvo con Bernulli
$y(x)=e^{-\int_{x_0}^{x}p(t)dx} [ y_0+\int_{x_0}^{x}q(t)e^{\int_{x_0}^{x}p(s)ds)}dt ]$
dove in questo caso: p(x)=-1

,

Quindi viene

$y(x)=e^{\int_{0}^{x}1ds}[1+\int_{0}^{x}-4t e^{\int_{0}^{t}-1ds}dt]=e^x(1+4xe^{-x}+4e^{-x}-4)=-3e^x+4+4x$
Questo considerando il modulo positivo. Cioè fino $a y>4x \Rightarrow -3e^x+4+4x>4x \Rightarrow x<log(\frac{4}{3})$

Ora devo considerare per il modulo negativo, il che significa che devo risolvere un altro problema:
$\begin{cases} y'(x)=-y(x)+4x &\\ y(log(\frac{4}{3}))=4log(\frac{4}{3}) & \end{cases}$
ed è qui che mi vengono i problemi. Potreste correggermi se c'è qualche errore? In questo caso ho p(x)=1

,

$y(x)=e^{\int_{log(\frac{4}{3})}^{x}1ds}[4log(\frac{4}{3})+\int_{log(\frac{4}{3})}^{x}4t e^{\int_{log(\frac{4}{3})}^{t}1ds}dt]=$
$=(e^x-e^{log(\frac{4}{3})})(4log(\frac{4}{3})+\int_{log(4/3)}^{x}4t(e^t-e^{log(\frac{4}{3})})dt)=$
$=(e^x-\frac{4}{3})(4log(\frac{4}{3})+\int_{log(\frac{4}{3})}^{x}4te^t-4t 4/3dt)=$
$=(e^x-\frac{4}{3})(4log(\frac{4}{3})+([4te^t]_{log(\frac{4}{3})}^{x}-4 \int_{log(\frac{4}{3})}^{x}e^t dt)-(4 \frac{4}{3} \left [\frac{t^2}{2}\right ]_{log(\frac{4}{3})}^{x}))=$
$=(e^x-\frac{4}{3})(4log(\frac{4}{3})+4xe^x-4 4/3log(\frac{4}{3})-4e^x+4 4/3-(8/3)x^2+8/3 2log(\frac{4}{3}))$
A questo punto espando, raccolgo e semplifico il semplificabile e questo dovrebbe essere il risultato per $x\geq log(\frac{4}{3})$

Grazie se avete avuto la pazienza di arrivare in fondo.

Per $y \ge 4x$ la soluzione è corretta e viene y(x) = 4x-3e^x+4

Per

vedo un disastro. Prova a semplificare in una forma decente l'ultima espressione ( analogamente al caso precedente ).
E questo da dove viene fuori ?

Shika93 ha scritto:Ora devo considerare per il modulo negativo, il che significa che devo risolvere un altro problema:
$\begin{cases} y'(x)=-y(x)+4x &\\ y(log(\frac{4}{3}))=4log(\frac{4}{3}) & \end{cases}$

Lo so da dove lo hai tirato fuori ma ti sembra corretto ?
L'equazione differenziale è una sola non ce ne sono due diverse, semplicemente la risolvi in due parti distinte del piano xy separate dalla retta y=4x

.

Quando considero la parte negativa del modulo se non ho capito male devo cambiare la condizione iniziale con la soluzione di quella precedente. No?
L'hanno più o meno spiegato per via grafica, dicendo che fino al punto x=log(4/3)

ha un andamento per il modulo positivo, dopo di che si deve risolvere "un altro" problema con come condizione iniziale, la soluzione che abbiamo trovato sopra e l'equazione con i segni cambiati dato che si considera il modulo negativo.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Se ho capito male allora la rifaccio senza stare a guardare i conti che ho fatto.

Puoi vederlo così.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Trovi la soluzione a destra a sinistra e poi hai due condizioni, una è quella di Cauchy e l'altra è il raccordo tra le due soluzioni.

Fin qui ci sono. Non ho capito quindi qual è l'errore. Ho sbagliato i conti e quindi devo rivederli, o ho proprio cannato l'equazione che devo risolvere per y<4x

?

La 2). Prova a risolvere l'equazione differenziale nella condizione y<4x

ma non imporre la condizione di Cauchy, lascia indeterminata la costante nella soluzione.

Quindi per y<4x

abbiamo $y'(x)=-y(x)+4x \rightarrow y'+y=4x$
Quindi p(x)=1

,

$y(x)=e^{-\int_{x_0}^{x}1dx}\left [ y_0+\int_{x_0}^{x}4te^{\int_{x_0}^{t}1ds}dt \right ]=$
$=e^{-x+x_0}\left [ y_0+ \int_{x_0}^{x} 4te^{t-x_0}dt \right ]=$
$=e^{-x}e^{x_0}\left [ y_0+\int_{x_0}^{x}4te^te^{-x_0}dt \right ]=$
$=e^{-x}e^{x_0}\left [ y_0+e^{-x_0}\left ( \left [ 4te^t \right ]_{x_0}^{x}-\int_{x_0}^{x}4e^tdt \right ) \right ]=$
$=e^{-x}e^{x_0}\left [ y_0+e^{-x_0}\left ( 4xe^x-4x_0e^x_0-4e^x+4e^{x_0} \right ) \right ]$

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Problema di Cauchy, Bernoulli

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