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Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesgue

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[31] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 3 nov 2016, 0:07

No, no, calma. Lo corregge perché ha detto che lo avrebbe fatto. Per tutti. Non per me. Era un esercizio che ci aveva lasciato per il ponte dei santi.
\left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n=e^{2x} no?

Quindi il mio problema sarebbe
\lim_{n \to \infty} \int_{\text{[}0, +\infty\text{]}}^{} e^{-x}dx
Dato che la funzione non dipende da n posso dire che è Lebesgue integrabile, dato che l'integrale del limite è uguale al limite dell'integrale e lo calcolo? (\int_{0}^{\infty}f(x)dx=1)
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[32] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 nov 2016, 0:18

Hey, non puoi sostituire la funzione col suo limite e poi lasciare ancora indicato il limite dicendo che non dipende da n.

Inoltre perché dici che sia L integrabile se non dipende da n?
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[33] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 3 nov 2016, 0:32

PietroBaima ha scritto:Hey, non puoi sostituire la funzione col suo limite e poi lasciare ancora indicato il limite dicendo che non dipende da n.

Mmm...Quindi?
PietroBaima ha scritto:Inoltre perché dici che sia L integrabile se non dipende da n?

L'ho pensato io. Vedendo che non dipende da n ho pensato che il limite non servisse più a niente. Ma dall'affermazione sopra direi che la dipendenza da n non può sparire...
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[34] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 nov 2016, 0:39

quindi non è giusto.
Se tu sostituisci la successione con il valore asintotico ne stai calcolando il limite.

La relazione corretta è che

\lim_{n \rightarrow +\infty} \left (1+\frac{1}{n}\right )^n=\text{e}

mentre

\left (1+\frac{1}{n}\right )^n=\text{e}

è sbagliato.
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[35] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 3 nov 2016, 0:44

Ok ora magari dirò una minchiata, ma posso tirare fuori dall'integrale la funzione \left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n in modo da avere il limite di quella che moltiplica l'integrale in x? In questo modo avrei e^{2x} \int_{0}^{\infty} e^{-3x}dx o non ha senso con il mio problema?
Diversamente non saprei dove andare a sbattere.
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[36] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 3 nov 2016, 0:48

non puoi perché x è la variabile di integrazione.
Quando calcoli l'integrale x deve sparire, è muta.

Pensa a quello che ti hanno spiegato su Lebesgue...
Non è un esempio difficile
Il mio era ben peggio :mrgreen:
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[37] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 3 nov 2016, 1:02

Ci ho provato.
Io so che se ho una funzione f definita in E\subset \mathbb{R}^n è Lebesgue integrabile se
\int_{E}^{}|f(x)|dx <\infty
Nel caso di una successione, che è il mio caso,
\lim_{n \to \infty} \int_{E}^{} f_n(x)dx=\int_{E}^{} f(x)

Il mio f_n(x) è \left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n e^{-3x}
Che ci faccio?
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[38] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto Utentedimaios » 3 nov 2016, 11:31

DirtyDeeds ha scritto:Non so se avete notato nel video come il tipo guardava gli studenti ritardatari o quelli che facevano un po' di rumore ....


Si Foto UtenteDirtyDeeds, è molto sensibile alle variazioni ambientali! :mrgreen:
Comunque ho dato un'occhiata a diversi suoi video e mi sembra un docente molto valido per cui l'attenzione e la puntualità se la merita proprio. ;-)
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[39] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteDirtyDeeds » 3 nov 2016, 12:07

dimaios ha scritto:Comunque ho dato un'occhiata a diversi suoi video e mi sembra un docente molto valido per cui l'attenzione e la puntualità se la merita proprio


Sì, infatti, e grazie della segnalazione: sono andato anch'io a vedere qualche video e spiega molto bene.
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[40] Re: Differenza funzioni integrabili secondo Riemann e Lebesg

Messaggioda Foto UtenteShika93 » 3 nov 2016, 21:08

Shika93 ha scritto:Ci ho provato.
Io so che se ho una funzione f definita in E\subset \mathbb{R}^n è Lebesgue integrabile se
\int_{E}^{}|f(x)|dx <\infty
Nel caso di una successione, che è il mio caso,
\lim_{n \to + \infty} \int_{E}^{} f_n(x)dx=\int_{E}^{} f(x)

Il mio f_n(x) è \left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n e^{-3x}
Che ci faccio?

Scusa Foto UtentePietroBaima ma non era poi completamente sbagliato quello che avevo fatto. Non l'ha corretto, però ho pensato:
devo calcolare \lim_{n\to + \infty} \int_{0}^{\infty} \left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n e^{-3x}dx
Chiamo la funzione da integrare f_n(x) e studio il suo comportamento per x fissato, e n che tende a infinito. Quindi studio il limite
\lim_{n\to + \infty}f_n(x)
e a quel punto tolgo la dipendenza da n perché mi viene
\lim_{n\to + \infty} \left ( 1+\frac{2x}{n} \right )^n e^{-3x}=e^{2x}e^{-3x}=e^{-x}
che è Lebesgue integrabile perché il suo modulo all'infinito tende a 0. Poi calcolo il suo modulo
|f_n(x)| e vedo che
per x \in (0,1) |f_n(x)|=1 mentre
per x \geq 1 e n \geq 2
|f_n(x)|=(1+x)^2 e^{-3x} che è Lebesgue-integrabile in (0,+ \infty). Quindi il problema si dovrebbe poter risolvere come
\int_{0}^{+ \infty} e^{-x}dx =1

O no?
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