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Ho una successione $f_n:[-10,10] \rightarrow \mathbb{R}$ $f_n(x)=xe^{-n|x|}$ e devo calcolare
$f=\lim_{n \to \infty} f_n$ in $(C^0; ||\cdot||_{sup})$ e in $(L^1, ||\cdot||_{1})$
Chiedo in particolare a

PietroBaima se sto dicendo delle boiate e per togliere qualche dubbio.

C'è il modulo nell'esponenziale quindi potrei o utilizzare la simmetria per farlo sparire, oppure studiare la successione "per ignoranza" guardando per x maggiore e minore di 0. Per simmetria, mi viene detto che quella successione f_n

è pari. perché? E' un prodotto tra

(dispari) ed $e^{-n|x|}$ (che è pari), quindi dispari per pari fa dispari. perché invece WolframAlpha mi dice che è pari?
perché vedendo che la successione è pari, si possono buttare via i valori di f_n

negativi, e studiare in [0, 10]

.

Io per trovare il sup in C^0

prima guardo se f_n

tende a

per ogni x, quindi fissato

, faccio tendere all'infinito

:
$f_n(x)=xe^{-n|x|}=\begin{cases} 0 & \text{ per } x=0 \Rightarrow \overset{n \to \infty}{\rightarrow} 0 =f(0)\\ xe^{-n|x|} & \text{ per } x\neq 0 \Rightarrow \overset{n \to \infty}{\rightarrow} 0 \end{cases}$
quindi $f_n(x) \rightarrow f(x) \forall x$

A questo punto per trovare il sup calcolo la derivata rispetto a x di f_n

e trovo i punti stazionari.
Con il metodo ignorante calcolo i punti per x>0, x<0

, che vengono uguali (perché la funzione è pari)
$f'_n(x)=e^{-nx}(1-nx) \rightarrow x=1/n$
e quindi
$\sup_{x \in [-10,10]}f_n(x)=|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x \in [-10,10]}|f_n(\frac{1}{n})|=\frac{e^{-1}}{n} \overset{n \to \infty}{\rightarrow} 0$

Mentre per L^1

$||f_n-f||_{L^1}=\int_{-10}^{10}|f_n|dx=\int_{-10}^{10}|xe^{-n|x|}|dx=2\int_{0}^{10} xe^{-n|x|}dx$
dato che la funzione è pari (anche se non capisco perché dallo studio di sopra (ma giustamente mi vengono i due punti stazionari coincidenti, quindi pari)) posso togliere il modulo anche da dentro l'esponenziale e calcolare l'integrale per parti. Quell'integrale per n che tende all'infinito fa 0 pure lui.

Shika93 ha scritto:Io per trovare il sup in prima guardo se tende a per ogni x, quindi fissato , faccio tendere all'infinito :

No. Così verifichi la convergenza puntiforme che è condizione necessaria ma non sufficiente per dimostrare la convergenza in $L_{\infty}$ . Anche il resto non è proprio corretto a quanto vedo. Ieri sera ho fatto questo esercizio per allenamento, se sei ancora interessato posso riportare come l'avrei eseguito io :).

Vedere un'altra fonte male non fa.

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Esercizio successioni

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