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Ieri ho fatto l'ennesimo esame di matematica e c'era un esercizio su lebesgue. Vorrei sapere se secondo voi quello che ho fatto ha un senso.
Ho questa sequenza
$f_n(x)=\frac{log(x)}{arctg(x^{1/n})+x^n}$
e mi si chiedeva, per n>2

e $x \in [0, +\infty)$ :
1) se è lebesgue integrabile $f_n \in L^1[0, +\infty)$
2) trovare

in modo che $f_n \rightarrow f$
3) verificare che $f_n \rightarrow f$ è lebesgue integrabile (con la convergenza dominata)
4)calcolare $\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{0}^{+\infty} f_n(x) dx$

Io ho risolto così:

1) fissato n:
per x che tende a infinito: $\frac{log(x)}{arctg(x^{1/n})+x^n} \simeq \frac{log(x)}{x^n} \in L^1$
per x che tende a 0+: $\frac{log(x)}{arctg(x^{1/n})+x^n} \simeq \frac{log(x)}{x^n}=\frac{1}{x^n (log(x))^{-1}} \in L^1$ dato che l'esponente del logaritmo è negativo

2) fissato x, $f(x)=\lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x)$ e quindi:
$x^{\frac{1}{n}} \overset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} 1 \Rightarrow arctg(1)=\frac{\pi}{4}$
$x^n \overset{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} \begin{cases} 1 & x=1 \\ -\infty & x>1 \\ 0 & x<1 \end{cases}$
quindi
$f_n(x) \rightarrow \begin{cases} \frac{log(x)}{\frac{\pi}{4}+1} & x=1 \\ 0 & x>1 \\ \frac{4log(x)}{\pi} & x<1 \end{cases}$

3) usando il teorema di convergenza dominata
$|f_n(x)| \leq |\frac{log(x)}{arctg(x^{1/n})+x^n}| \leq |\frac{log(x)}{\frac{\pi}{2}+x^n}| \leq \begin{cases} \frac{log(x)}{x^n} & |x|>1 \in L^1\\ log(x) & |x|<1 \end{cases}$

4) dato che il limite dell'integrale è uguale all'integrale del limite:
$\int_{0}^{1}\frac{4}{\pi} log(x) dx=-\frac{4}{\pi}$

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Esercizio sequenza e Lebesgue

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