ElectroYou

Sto aiutando uno studente a preparare un esame di comunicazioni elettriche ma mi sono ritrovato improvvisamente nel pallone quando mi ha chiesto come si risolverebbe una equazione come questa:
a[ 1 + sinc^2(a) ] = p

ove
$a = B\tau$

Sostanzialmente, avendo (nel dominio del tempo) un singolo impulso di durata $\tau$ , centrato nell'origine, si tratta di derminare la banda

tale per cui la potenza percentuale trasmessa sia pari a

. La formula sarebbe, secondo il docente, l'approssimazione utilizzata per a<1

.
E' stato chiesto di determinare B affinche' la potenza trasmessa sia pari all'80% (ovvero p=0,8

). Mi sono scervellato un po', ma non mi viene in mente nessun metodo risolutivo a parte quello di utilizzare metodi numerici (con Maxima o simili).

Io non sono specialista di teoria di segnali, e nei miei appunti e libri ho trovato poco o nulla su cio'.

Avete qualche idea?

O_/

Max

Se ti interessa il risultato,
per p=0.8 è a=0.6045

Grazie

g.schgor

Ma come hai fatto a calcolarlo? A me interessa sapere anche un possibile procedimento risolutivo.
Ho sottomano wxMaxima, ma quando cerco di risolvere quell'equazione mi da' come tutta risposta "unable to solve"

Non so se ho capito bene il problema, ma in caso affermativo:

$a+a\frac{\sin ^{2}\left( a \right)}{a^{2}}=p$

$a+\frac{\sin ^{2}\left( a \right)}{a}=p$

$a^{2}+\sin ^{2}\left( a \right)=ap$

$ap-a^{2}=\sin ^{2}\left( a \right)$

$ap-a^{2} \approx a^{2}$

$p \approx 2a$

In caso di non approssimazione si risolve per via grafica:

$\sin ^{2}\left( a \right)=ap-a^{2}$

p=1:

p=2:

e così via...

Grazie

Ianero
Effettivamente mi ero dimenticato che per a sufficientemente piccolo si puo' scrivere $sin(x)\approx x$ ... :oops:

Ma la risoluzione grafica e' ancora usata nel XXI secolo?

Il risultato indicato da

g.schgor sembra essere stato ottenuto per via grafica o numerica...

Purtroppo non capisco la soluzione di Giovanni

La soluzione esatta è solo numerica.
Però, se scriviamo

$a\left( 1+\text{sinc}^2 a\right)=p$

come

$a\left( 1+\frac{\sin^2 a}{a^2}\right)=p$

ammesso che per la sinc utilizziate la versione non normalizzata (ma con la normalizzata il risultato non cambierebbe)

posso scrivere che

$a^2-pa+\sin^2a=0$

ma se fra le ipotesi ho che a<1 posso approssimare il seno al primo termine di Taylor

$a^2-pa+a^2 \approx 0$

cioè a=0 che è una soluzione che non verifica l'equazione, oppure

$a \approx \frac{p}{2}$

cioè $a \approx 0.4$

con wolframalpha ho che a=0.411341

Ma magari sbaglio qualcosa io.

EDIT: corretta formula errata.

preceduto da

Ianero

Effettivamente e' la soluzione di

g.schgor che mi lascia spiazzato....

PietroBaima ha scritto:cioè $p \approx 0.4$

Forse intendevi scrivere:
$a \approx 0.4$

Per il resto tra

PietroBaima e

Ianero non vedo una grinza nei loro ragionamenti. DIrei che il problema puo' considerarsi risolto, dato che si richiede di risolvere l'equazione proprio per valori di a tali che a < 1

ElectroYou

Equazione con sinc^2

Equazione con sinc^2

Re: Equazione con sinc^2

Re: Equazione con sinc^2

Re: Equazione con sinc^2

Re: Equazione con sinc^2

Re: Equazione con sinc^2

Re: Equazione con sinc^2

Re: Equazione con sinc^2

Re: Equazione con sinc^2

Re: Equazione con sinc^2