ElectroYou

salve a tutti,
con mia grande vergogna arrivo al terzo anno di ingegneria e mi faccio ancora queste domande spero una volta per tutte! Calcolo del dominio:
$y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}$
L'argomento di ogni radice quadrata deve essere positivo

1) studio le singole funzioni radice e metto a sistema
2) porto tutto sotto un'unica radice e faccio lo studio del segno della frazione

In teoria $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ quindi... perché hanno dominio diverso? quale è quello giusto e qual è la regola esatta e rigorosa?

Grazie a tutti per le risposte,
Davide

Nella prima funzione a e b, singolarmente, devono essere non negativi, nella seconda invece solo il loro rapporto.
In entrambi b diverso da zero.

L'argomento di ogni radice quadrata deve essere positivo

Non negativo

In teoria $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ quindi... perché hanno dominio diverso?

Mentre quando hai $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ devi rispettare che $a \geqslant 0$ e b>0

, quando metti tutto sotto un'unica radice e quindi hai $\sqrt{\frac{a}{b}}$ devi rispettare semplicemente $\frac{a}{b} \geqslant0$ , e quindi può essere $a \geqslant 0 \wedge b>0$ oppure $a\leqslant0 \wedge b<0$ poiché la divisione tra due numeri negativi restituisce un numero positivo.

In effetti l'uguaglianza che hai scritto penso sia sbagliata.

$f(x)=\sqrt{x}$ è una funzione che ha per dominio e codominio l'insieme $\mathbb{R}^+$ (zero compreso).

L'uguaglianza del rapporto proposta è valida solo per numeri reali positivi.

quindi in tutta generalità
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ non è vera in R?

$\sqrt{a}$ non è definita se vai fuori $\mathbb{R}^+$ .

dadduni ha scritto:quindi in tutta generalità
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ non è vera in R?

Non è vera.
Pensa se avessi a = -1 e b = -2: che cosa succederebbe nel primo e nel secondo caso?

dadduni ha scritto:quindi in tutta generalità
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ non è vera in R?

Esattamente. E' vera solo in $\mathbb{C}$ e solo se b è diverso da zero.

ElectroYou

dominio funzione prima e dopo applicazione delle proprietà

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Re: dominio funzione prima e dopo applicazione delle proprie

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