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Buonasera

Giungo qui con una domanda teorica alla quale ritengo occorra dare una risposta, visto che praticamente tutti i testi di elettrotecnica glissano: cosa sono i fasori?

Mi spiego meglio: tutti conosciamo senz'altro la definizione ovvia del fasore come "vettore rotante" (o rappresentazione esponenziale di una grandezza sinusoidale, che alla fine è la stessa cosa), che è utilizzata in molti campi della fisica (uno tra tutti: lo studio degli oscillatori armonici) e - trascurando il termine che contiene la pulsazione, visto che in quel caso tutte le grandezze sono isofrequenziali - per l'analisi di circuiti in regime sinusoidale.
Ma non basta: uno studente minimamente attento non può non notare certe corrispondenze quanto meno sospette tra i fasori e la trasformata di Fourier, corrispondenze sulle quali vale la pena indagare... ed ecco che inizia il problema: i testi di elettrotecnica trascurano totalmente l'argomento, limitandosi ad un confuso trafiletto (vedesi Perfetti) o addirittura non parlandone affatto (vedesi Glisson, che dice solo, quando spiega la trasformata di Laplace, che la rappresentazione dei circuiti ottenuta con essa è simile a quella ottenuta con il metodo simbolico)!
Lo studente cerca allora di far da sè, e prende un libro che tratti la trasformata di Fourier per capire come funziona la storia... e subito si imbatte nel primo problema: la rappresentazione così facile e carina delle sinusoidi ottenuta con i fasori non corrisponde assolutamente alla trasformata di Fourier della sinusoide!
Lo studente continua a cercare, e si imbatte in alcuni riferimenti ad una fantomatica trasformata di Steinmetz (citata - cosa stranissima - solo su Wikipedia Italia, in alcune dispense dell'Università di Bologna e in un post di

RenzoDF, che la etichetta come "un tentativo di formalizzare l'intuizione di Steinmetz sulla rappresentazione in fasori") che è definita in modo molto simile alla trasformata di Fourier... ma lo studente conosce bene il principio di autorevolezza delle fonti, e dunque sa che non può prendere per buono un risultato che non trova riscontri bibliografici di certificata autorevolezza (con tutto il rispetto per

RenzoDF, le cui competenze non mi permetto di mettere in dubbio).
A questo punto è giunta la notte, lo studente è demotivato (anche perché quella appena finita è stata una giornata terribile) e non sa più che pesci pigliare... e quindi scrive su EY sperando che qualche anima pia ed informata gli possa spiegare come stanno davvero le cose :mrgreen:

Questo puo' essere un buon punto di partenza per fare un po' di chiarezza sulle relazioni intercorrenti tra fasori e Trasformata di Fourier. Le animazioni sono davvero ben fatte e permettono all;utente di interagire.
Provare per credere :!:

Ok provo a rispondere alle tue domande nel limite delle mie capacità.

La trasformata simbolica è il metodo pigro per costruirne una senza considerare i problemi di convergenza che avresti facendole fra spazi di Banach in modo rigoroso. Il problema centrale di quando fai una trasformata integrale infatti è chiedersi se questo integrale esista o meno (se sia definito). In questo caso invece si usano regole di riscrittura che ignorano il problema e si salva la giornata. Si, i metodi simbolici ignorano questi problemi di convergenza, tuttavia se l'operazione che ti semplificano non è ben definita nel tuo spazio iniziale sei ugualmente fregato senza accorgertene.
Come costruisci una buona trasformata simbolica? Si mappa biunivocamente in strutture molto meno ricche sperando che vada tutto bene :mrgreen:

. Si costruiscono delle regole di riscrittura che mappino oggetti da uno spazio all'altro e si cercano di invertire per avere un'antitrasformata. Si costruiscono delle operazioni nello spazio simbolico e si cerca di mettere in relazione il loro risultato con quello di operazioni nello spazio di origine.
Piccola nota: quando una persona fa una trasformata di Laplace senza considerare la regione di convergenza, o quando si definisce una funzione in un dominio nuovo usando la sua espansione di Taylor senza verificare le varie condizioni tecniche in realtà STA operando una trasformazione simbolica :mrgreen:

.
Esiste una qualche relazione colla trasformata di Fourier? Certamente. Come puoi trasformare dal dominio del tempo sinusoidi isofrequenziali in fasori ed antitrasformare nessuno ti impedisce di costrtuire un'analoga relezione dal dominio delle frequenze a quello simbolico. Certo andrebbe verificata la biettività della mappa.

Altri esempi di trasformate simboliche comunemente usate sono:
- ~~La trasformata numerica che usa anelli per trasformare convoluzioni in prodotti, similmente alla DFT definita su campo complesso.~~ sbagliato, questa non è simbolica.
- La trasformata usata in calcolo simbolico per contare il numero di strutture che soddisfano certi pattern o regolarità, trasformando il conteggio anche qui da convoluzioni a prodotti fra funzioni ordinarie. Circa :mrgreen:

. Se leggesse il mio docente potrebbe volermi revocare la laurea.

Domanda di quelle balorde. Ho cercato anch'io se qualche testo dicesse qualcosa in proposito, ma non ho mai trovato nulla. La mia personalissima idea e` che il fasore sia il coefficiente complesso c_1

della serie di Fourier. Lavorare con i fasori in pratica e` usare un solo termine della serie di Fourier.

Dato che c'e` un po' di liberta` di movimento, si puo` usare come definizione l'integrale solito che definisce il primo coefficiente della serie, ma lo si puo` normalizzare diversamente, prendendo il valore efficace, oppure si puo` cambiare t in -t, o ancora si potrebbe traslare la base...

Sabato sera alla cena chiudero` in un angolo

PietroBaima e me lo faro` spiegare per bene. Pietro chissa` se mi porti a vedere il libro Electric Network Theory, Laplace Transform Technique?

Da quello che ricordo dei tempi dell'uni la trasformata di Steinmetz era dietro alla teoria dei fasori.

L'anti-trasformata di Fourier di un segnale la puoi scrivere così:

$f(t)=\frac{1}{2 \pi}\int_{\omega=-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{\j \omega t} \text{d}\omega$

ma, se f(t)

è reale, anche così:

$f(t)=\frac{1}{2 \pi}\left (\int_{\omega=-\infty}^{0} F(\omega)e^{\j \omega t} \text{d}\omega +\int_{\omega=0}^{\infty} F(\omega)e^{\j \omega t} \text{d}\omega \right)$

$f(t)=\frac{1}{2 \pi}\left (-\int_{\omega=-\infty}^{0} F(\omega)e^{\j \omega t} \text{d}\left (-\omega \right ) +\int_{\omega=0}^{\infty} F(\omega)e^{\j \omega t} \text{d}\omega \right)$

$f(t)=\frac{1}{2 \pi}\left (\int_{\omega'=0}^{\infty} F(-\omega')e^{-\j \omega' t} \text{d}\omega ' +\int_{\omega=0}^{\infty} F(\omega)e^{\j \omega t} \text{d}\omega \right)$

$f(t)=\frac{1}{2 \pi}\int_{\omega=0}^{\infty} F^*(\omega)e^{-\j \omega t} +F(\omega)e^{\j \omega t} \text{d}\omega$

$f(t)=2\Re\left \{ \frac{1}{2 \pi}\int_{\omega=0}^{\infty} F(\omega)e^{\j \omega t} \text{d}\omega \right \}$

Se f(t)

è una sinusoide con questi parametri:

$f(t)= A_0 \cos(\omega _0 t+ \phi _0)$

trasformata e inserita nell'ultima relazione precedente:

$f(t)=2\Re\left \{ \frac{1}{2 \pi}\int_{\omega=0}^{\infty} A_0 \pi \delta (\omega-\omega_0)e^{\j\phi _0}e^{\j \omega t} \text{d}\omega \right \} =\Re\left \{ A_0e^{\j \phi_0}e^{\j \omega_0 t} \right \}$

Ti ricorda qualcosa? :-P

Grazie per gli interventi :ok:

Ianero: mio salvatore iOi

proprio quella relazione cercavo di dimostrare, ma dopo una giornata passata a fare lavori pesanti l'idea di sfruttare le proprietà della trasformata per funzioni reali non mi è passata neanche vicino ai neuroni :roll:

fpalone: avevo sentito parlare della trasformata di Steinmetz... ma come dicevo sopra, c'è carenza di bibliografia, soprattutto in ambito internazionale, e se ho ben capito ciò che ebbe a dire a suo tempo

RenzoDF si tratta comunque di una formalizzazione successiva.

IsidoroKZ: l'idea della serie di Fourier mi piace

... ma mi fa sbattere la testa al muro perché non ci avevo pensato #-o

fairyvilje: in pratica, "so' ingegneri": finché funziona, a che servono i formalismi? (:OO:)

banjoman: utilissimo quel link :ok:

PS: questo è il mio post n. 555 :mrgreen:

rugweri ha scritto:c'è carenza di bibliografia, soprattutto in ambito internazionale

Vero, però ho trovato questo articolo, che per me è una lettura interessante sulla "storia" dei fasori.
C'è anche un video, dell'Union College Electrical Engineering Department:

.
Qui invece è riportato il primo tra i lavori di Steinmetz che faccia riferimento (per quello che ne so io) all'applicazione di grandezze complesse all'elettrotecnica.

Sono andato a sfogliare l'articolo per curiosità.
Non ho potuto fare a meno di notare questo:

: Drop.png (10.28 KiB) Osservato 13048 volte

PS: Sicuramente gli autori sapranno le cose come stanno e l'avranno riportato così solo per comodità, l'ho inserito qui solo perché nel forum se ne è parlato spesso di $\text{i}$ e $\text{j}$ e di questa scrittura specifica. :-)

Se mi ricordo bene, un fasore è praticamente la stessa cosa di un inviluppo complesso, concetto che si usa in Teoria dei segnali e che di solito si approccia in maniera un po' più matematica: http://infocom.uniroma1.it/alef/libro/h ... o-9.2.html

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Teoria dietro ai fasori?

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