ElectroYou

Ciao a tutti! Sto rispondendo a una domanda di controlli e il mio dubbio forse riguarda di più la matematica.
In sostanza la domanda chiede per un sistema lineare e tempo invariante descritto da una generica equazione differenziale di ordine

.
Considerando la risposta in frequenza $W(j\omega)$ del sistema e ipotizzando che sia BIBO stabile devo dimostrare che $\forall \omega \in \mathbb{R}: W(j\omega)$ è finita.

Sapendo che BIBOs vuol dire anche che nel tempo:
$\int_0^{+\infty} |\omega(t)|dt < +\infty$ allora applicando la trasformata di Fourier:

$W(j\omega)=\int_0^{+\infty}w(t)e^{-j\omega t}dt \leq \int_0^{+\infty}|w(t)||e^{-j\omega t}|dt < 2\int_0^{+\infty}|w(t)|dt <+\infty$

ma non mi convince non so perché, cioè secondo voi e giusto e si potrebbe dire con questo che $\forall \omega \in \mathbb{R}: W(j\omega)$ è finita ?

Dunque, se ho capito bene vuoi dimostrare il seguente

teorema - sia w(t)

un segnale BIBO stabile, allora la trasformata di Fourier $W(\text{j}\omega)$ del segnale w(t)

è finita $\forall \omega\in\mathbb{R}$ .

sperando ti sia utile, ti reinterpreto la dimostrazione a parole mie.

dimostrazione - la trasformata di Fourier del segnale w(t)

è definita come l'integrale

$W(\text{j}\omega)=\int_0^{+\infty}w(t)\exp(-\text{j}\omega t)\text{ d}t$

tale definizione mostra che il segnale $W(\text{j}\omega)$ è complesso, nel senso che fissata una pulsazione $\omega_0$ , la quantità $W(\text{j}\omega_0)$ è un numero complesso, esprimibile quindi in forma polare attraverso un certo modulo $|W(\text{j}\omega_0)|$ ed una certa fase $\angle W(\text{j}\omega_0)$ .
Naturalmente il discorso vale qualsiasi sia la pulsazione $\omega_0$ scelta, quindi si può omettere il pedice dalla pulsazione e tornare a pensare ad $\omega$ come una generica pulsazione.

Affinché $W(\text{j}\omega)$ sia una quantità finita è sufficiente che sia finito il suo modulo, quindi si può studiare il termine

$|W(\text{j}\omega)|=\left|\int_0^{+\infty}w(t)\exp(-\text{j}\omega t)\text{ d}t\right|$

che, in virtù della disuguaglianza triangolare, è maggiorato da

$|W(\text{j}\omega)|\le\int_0^{+\infty}\left|w(t)\exp(-\text{j}\omega t)\right|\text{ d}t=\int_0^{+\infty}|w(t)||\exp(-\text{j}\omega t)|\text{ d}t$

osservando adesso che, indipendentemente dal valore di $\omega$ , si ha $|\exp(-\text{j}\omega t)|=1$ , si trova

$|W(\text{j}\omega)|\le\int_0^{+\infty}|w(t)|\text{ d}t \qquad \forall \omega\in\mathbb{R}$

quindi, essendo per ipotesi w(t)

un segnale BIBO stabile, ovvero un segnale assolutamente integrabile, i.e.

$\int_0^{+\infty} |w(t)|\text{ d}t < +\infty$

si arriva finalmente a concludere che

$|W(\text{j}\omega)|< \infty \qquad \forall \omega\in\mathbb{R}$

il che dimostra la finitezza di $W(\text{j}\omega)$ indipendentemente dal valore della pulsazione $\omega$ .

Grazie mille :ok:

ElectroYou

Risposta sistema BIBOs: dubbio calcolo

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Re: Risposta sistema BIBOs: dubbio calcolo

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