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Ieri sera mi stavo dilettando a risolvere questa identità trigonometrica:

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{(\cos x-\sin x)^2}{\cos^2x-\sin^2x}=1$

Mi si chiede di risolverla utilizzando solo le tre relazioni fondamentali della goniometria e io l'ho risolta così:

$\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{1-\frac{\sin x}{\cos x}}\cdot \frac{\cos^2x+\sin^2x-2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}=1$

$\frac{\cos^2x+\sin^2x-2\sin x\cos x+\frac{\sin x\cos^2x+\sin^3x-2\sin^2x\cos x}{\cos x}}{\cos^2x-\sin^2x-\frac{\sin x\cos^2x-\sin^3x}{\cos x}}=1$

$\frac{\frac{\cos^3x+\sin^2x\cos x-2\sin x\cos^2x+\sin x\cos^2x+\sin^3x-2\sin^2x\cos x}{\cos x}}{\frac{\cos^3x-\sin^2x\cos x-\sin x\cos^2x+\sin^3x}{\cos x}}=1$

$\frac{\frac{\cos^3x-\sin^2x\cos x-\sin x\cos^2x+\sin^3x}{\cos x}}{\frac{\cos^3x-\sin^2x\cos x-\sin x\cos^2x+\sin^3x}{\cos x}}=1$

Giungendo alla conclusione che il primo membro è uguale al secondo.
Ora la mia soluzione è un po lunga e laboriosa e mi chiedevo se magari a voi vi viene in mente un modo più veloce e semplice di risolvere l'identità.
Ringrazio a chi vorrà divertirsi un po :mrgreen:

Invece di esplodere le tangenti, compatta i seni e coseni in altre tangenti :-)

Intendi così:

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{(\cos x-\sin x)^2}{\cos^2x-\sin^2x}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot \frac{(\cos x-\sin x)^2}{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot \frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot \frac{\frac{\cos x-\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=1$

In effetti è più veloce

Non mi era venuto in mente, si vede che mi piace complicarmi la vita :mrgreen:

Si può accorciare ancora un po’.

Raccogli un coseno dalla parentesi al numeratore, poi portalo al denominatore.

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{(\cos x-\sin x)^2}{\cos^2x-\sin^2x}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{(1-\tan x)^2}{1-\tan^2x}=1$

Dopo aver semplificato, al numeratore hai l’espansione ~~del quadrato del binomio~~ della differenza di due quadrati del denominatore. (Grazie

sebago)

PietroBaima ha scritto:Dopo aver semplificato, al numeratore hai l’espansione del quadrato del binomio del denominatore.

Probabilmente volevi dire "della differenza di quadrati del denominatore"...

Ahem, certo, volevo dire proprio così... :-"

Pietro intendi così:

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{(\cos x-\sin x)^2}{\cos^2x-\sin^2x}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x}{\cos^2x-\sin^2x}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{\frac{cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x}{\cos^2x}}{\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{1-2\tan x+\tan^2x}{1-\tan^2x}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{(1-\tan x)^2}{1-\tan^2x}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{(1-\tan x)^2}{(1+\tan x)(1-\tan x)}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=1$

Forse ripensandoci volevi fare così:

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{(\cos x-\sin x)^2}{\cos^2x-\sin^2x}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{(\cos x(1-\frac{\sin x}{\cos x}))^2}{\cos^2x-\sin^2x}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{\cos^2x(1-\tan x)^2}{\cos^2x-\sin^2x}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{\frac{\cos^2x(1-\tan x)^2}{\cos^2x}}{\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}}=1$

$\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot\frac{(1-\tan x)^2}{1-\tan^2x}=1$

e poi di nuovo i calcoli di prima.
Sarà ma secondo me è più sbrigativo quello fatto in [3]; comunque ti ringrazio per gli spunti
interessanti

sí, il secondo, ma devo dire che sei “verboso” nei calcoli :-)

ps: se si dovesse usare l’analisi per dimostrarla, come faresti?

PietroBaima ha scritto:devo dire che sei “verboso” nei calcoli

Scusa Pietro ma per quanto riguarda i calcoli preferisco fare tutto per bene e una volta sola piuttosto di semplificare troppo e magari perdermi. :ok:

PietroBaima ha scritto:se si dovesse usare l’analisi per dimostrarla, come faresti?

Qui non ho ben capito dove vuoi andare a finire

È uno dei miei modi per raccontare una curiositá di mate.

Se devi usare l’analisi allora devi dimostrare che la funzione é costante su tutto il dominio.
In pratica ne calcoli la derivata e vedi che é nulla dappertutto.

Facile, ma... c’è un ma

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Identità trigonometrica

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