ElectroYou

Salve a tutti,
sto studiando la dimostrazione del seguente teorema di Fritz John.

Sia

un sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$ e siano $f:I \to \mathbb{R}$ , $g:I \to \mathbb{R}^m$ , $h:I \to \mathbb{R}^p$ funzioni di classe C^1(I)

. Se esiste un intorno $U \subset \mathbb{R}^n$ di $x_0 \in I$ tale che:

$f(x_0)\leq f(x), \; \; \forall x \in U \cap \{ x \in I |g(x) \leq 0, h(x)=0 \}$

allora esistono $\lambda_0 \in \mathbb{R}$ , $\lambda \in \mathbb{R}^m$ e $\mu \in \mathbb{R}^p$ tali che:

$\left\{\begin{matrix} \lambda_0 \nabla f(x_0)+ \sum_{i=1}^{m} \lambda_i \nabla g_i(x_0)+\sum_{i=1}^{p} \mu_i \nabla h_i(x_0)=0 \\ \lambda_i g_i(x_0)=0, \; i=1,...,m \\ x_0 \in \{ x \in I |g(x) \leq 0, h(x)=0 \} \end{matrix}\right.$

La dimostrazione l'ho studiata da qui (pagina 29 - 2.2.2) e qui (pagina 60 - 20).

La domanda è: la dimostrazione mi sembra chiara e credo di averla capita; l'unico punto oscuro per me è che a quanto pare c'è la possibilità che il moltiplicatore $\lambda_0$ possa risultare nullo, ma a me sembra che per come è definito quest'ultimo sia sempre strettamente positivo.

Ovviamente sicuramente sono io a sbagliare, poiché mi sembra di aver capito che il caso (particolare e non generale) in cui $\lambda_0 \neq 0$ venga sfruttato per ricavare le condizioni KKT.

Qualcuno che magari già conosce il problema (o che ha voglia di leggersi la dimostrazione) può aiutarmi a capire quando può accadere che $\lambda_0 =0$ ?

Grazie anticipatamente.

ElectroYou

Dimostrazione Fritz John

Dimostrazione Fritz John