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Ragazzi ho questo esercizio da risolvere:

Siano X una variabile aleatoria Gaussiana standard, ovvero a media nulla e varianza unitaria e $Immagine$ una variabile aleatoria uniforme in $Immagine$ indipendente da X. Si calcoli la media di $Immagine$ dove j è l'unità immaginaria (Suggerimento: applicare il teorema fondamentale della media)

Considerando che le due v.a. sono statisticamente indipendenti e dal suggerimento mi viene da impostare il seguente integrale:

$E[Xe^{j\phi }]= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}xe^{j\phi }e^{\frac{-x^2}{2}}dx$

dove $Immagine$ è la pdf di X.

è corretto?

Essendo la variabile aleatoria Y data dalla combinazione di due variabili aleatorie bisogna conoscere la densità di probabilità congiunta.
Nel tuo caso quanto vale?

mmm... visto che sono statisticamente indipendenti la pdf congiunta è data dal prodotto della pdf di X e della pdf di $Immagine$ ... quindi devo dapprima calcolare media e varianza di $Immagine$ ?

Perché?
È una variabile aleatoria uniforme per cui la distribuzione è costante nell'intervallo.

sono totalmente confusa ora... Y l'ho aggiunta io, l'esercizio chiedeva la media di $Immagine$ ... mi sai dare un altro suggerimento per capire?

oppure la pdf della v.a. è unitaria e quindi la pdf congiunta equivale alla pdf di X?

PS. scusami ho fatto confusione... la pdf di $Immagine$ è:

$f_{\phi }(\phi )= \frac{1}{2\pi}$

Ok. Supponiamo che vuoi calcolare la media di Y, cosa ti serve?
Ovviamente la densità di probabilità di f_Y

.
A questo punto faresti l'integrale su tutto il dominio ed applicando la definizione.
Per te Y è una variabile aleatoria e non sapendo altro che la sua densità calcoleresti il solito integrale a singola variabile.
Il problema è che Y viene definita come una combinazione di 2 variabili aleatorie per cui per conoscerne la media devi sapere quale è la densità di probabilità congiunta cioè la relazione statistica fra le dei variabili casuali.
Chiamiamola $f_{X \theta} (a, b)$ dove a e b sono i valori che possono assumere le 2 variabili aleatorie nei rispettivi intervalli.
Ovviamente la definizione di media di Y sarà un integrale di che tipo visto che hai 2 variabili?

dovrebbe essere un integrale doppio. quindi avrei dovuto fare l'integrale doppio di questo tipo:

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}xe^{j\phi}f_{x}(x)f_{\phi}(\phi)dxd\phi$

Ora sfruttando la conoscenza della densità di probabilità congiunta data l'indipendenza delle 2 variabili aleatorie puoi risolvere.

Attenta alla notazione. Se X è la variabile aleatoria chiama x minuscolo la variabile che indica il valore che assume X all'interno dell'intervallo di definizione.
Analogamente per l'altra variabile.

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}xe^{j\phi}f_{X}(x)f_{\Phi}(\phi)dxd\phi$

ti ringrazio davvero per il supporto e la guida! :-)

giusto per sentirmi sicurissima, in definitiva sostituendo i valori devo risolvere questo integrale?

$\frac{1}{2\pi \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}xe^{j\phi}e^{\frac{-x^2}{2}}dxd\phi$

P.S: si hai ragione mi sono dimenticata, ho modificato

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Esercizio variabili aleatorie

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