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Da una chiacchierata con l'amico

rugweri...

Dimostrare che il calcolo del numero di Nepero è meglio approssimato dalla seguente formula:

$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\cdot n!}$

piuttosto che dalla classica:

$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$

e fare un confronto in termini di errore al limite $n\to\infty$ tra le due espressioni.

Wow, sei stato celerissimo

Appena torno a casa mi ci metto :ok:

Allora, cominciamo: notando che l'approssimante migliore è quella con il minor resto, dimostriamo quale delle due formule sia migliore come segue:

Diamo intanto un nome alle due formule, così possiamo scrivere i nostri calcoli in una forma più leggibile:

$f(n) = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\cdot n!}$
$g(n) = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$

Notiamo ora che:

$\frac{1}{n\cdot n!} = \frac{n+1}{n\cdot (n+1)!} = \frac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)$

Questo ci permette di scrivere:

$f(n) = \sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\cdot (n+1)!}$

Possiamo allora calcolare il resto come:

$R_{f(n)} = e - f(n) = \sum_{k=n+2}^{+\infty}\frac{1}{k!}-\frac{1}{n\cdot (n+1)!}$

Per g(n)

, banalmente, il resto è:

$R_{g(n)} = e - g(n) = \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k!}$

Notiamo ora che $\forall n \in \mathbb{N}^+ (R_{f(n)} < R_{g(n)})$ , e precisamente:

$R_{f(n)} = R_{g(n)} - \frac{1}{n\cdot (n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!}$

Per cui abbiamo dimostrato ciò che ci interessava. Il comportamento limite dei due resti è ovvio, ma specifichiamolo: per $n \rightarrow +\infty$ , in entrambi la somma tende ad annullarsi, e visto che anche $\frac{1}{n\cdot (n+1)!} \rightarrow 0$ possiamo concludere che ovviamente $\lim_{n\rightarrow +\infty}R_{f(n)} = \lim_{n\rightarrow +\infty}R_{g(n)} = 0$ .

Ho risposto al quesito?

Ciao, mi fa piacere vedere che il problema ti abbia incuriosito.

Ho risposto al quesito?

No, l'espressione dell'errore come l'hai fornita è corretta, ma purtroppo inutile.
L'obiettivo che ci si pone è quello di stimare

nel miglior modo possibile, cioè ottenere un risultato più prossimo a quello vero a parità di termini coinvolti nella somma.
Ciò che interessa, allora, diventa una maggiorazione quanto più stringente possibile dell'errore dovuto al troncamento nei due casi, e non la sua forma esatta se quest'ultima è ancora espressa in termini di somma infinita.

Per cominciare a risolvere il problema posto, tenta innanzitutto di dimostrare che la formula classica conduce a un errore che verifica la seguente disuguaglianza:

$0<E_n=e-\sum_{k=1}^{n}<\frac{1}{n\cdot n!}$

la quale stavolta è una maggiorazione utile.

Per quanto riguarda il limite finale ne parliamo dopo, ma ti anticipo che non devi dimostrare che per $n\to \infty$ i due resti tendono ad annullarsi, cosa sicuramente vera, ma chi domina su chi.

Capisco... ci penso un po' e vedo cosa riesco a determinare :ok:

Rieccomi

Utilizzando la simbologia che avevo introdotto prima:

$R_{g(n)} = e - g(n) = \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k!} = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+3)!} + ...$

Ora, ricordando che $\frac{1}{n\cdot n!} = \frac{n+1}{n}\frac{1}{(n+1)!}$ e conoscendo la serie geometrica $\sum_{k = 0}^{+\infty}x^k = \frac{1}{1-x}$ (ovviamente, ho considerato solo il caso |x| < 1

, che è quello convergente nonché quello che ci interessa), possiamo scrivere:

$\frac{1}{n\cdot n!} = \frac{n+1}{n}\frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{(n+1)!}\sum_{k = 0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^k} = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} + ...$

Questo dimostra la disuguaglianza che mi chiedevi, perché ovviamente:

$\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} +... > \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)(n+1)!} + ...$

(In realtà volevo mettere un altro paio di termini per lato giusto per rendere più evidente la cosa, ma non so perché il parser LaTeX da problemi)

Vado bene?

Bravo, ora cerca di trovare una stima dell'errore quando si effettua il calcolo con la seconda formula, e chiediti se e quando è migliore della prima.
Inoltre, ti faccio notare che la forma classica approssima

dal basso, controlla se vale lo stesso per la seconda o se succedono cose diverse.

Curiosità: con quello che hai appena dimostrato si può provare l'irrazionalità di

.

rugweri ha scritto:In realtà volevo mettere un altro paio di termini per lato giusto per rendere più evidente la cosa, ma non so perché il parser LaTeX da problemi

Scrivi tutto quello che volevi scrivere senza metterlo tra i tag

Codice: Seleziona tutto: [tex][/tex]

ma mettilo tra i tag

Codice: Seleziona tutto: [code][/code]

che provo a vedere cosa c'è che non va.

Ecco qui:

Codice: Seleziona tutto: \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)^2(n+1)!} +... > \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)(n+1)!} + \frac{1}{(n+3) +(n+2)(n+1)!} +...

Ianero: ora procedo con il calcolo dell'errore per l'altra... comunque, posso già dire che approssima per eccesso :ok:

Spezzala in due

$\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)^2(n+1)!} +... >$

$\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)(n+1)!} + \frac{1}{(n+3) +(n+2)(n+1)!} +...$

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Chiacchiere di matematica

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