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Chiacchiere di matematica

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[21] Re: Chiacchiere di matematica

Messaggioda Foto Utentesebago » 28 ago 2018, 10:31

Ma si può sapere quale cifra vi serve?
neperone.JPG

:mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:
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[22] Re: Chiacchiere di matematica

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 ago 2018, 11:16

Quella che viene dopo :mrgreen:
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[23] Re: Chiacchiere di matematica

Messaggioda Foto Utentesebago » 28 ago 2018, 12:40

Acc..birbante, ne hai approfittato perché ho lo screenshot corto..
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[24] Re: Chiacchiere di matematica

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 28 ago 2018, 13:55

Rieccomi :D Procedo con il primo caso del tuo nuovo quesito (vorrei far di più, ma devo preparare un esame e il tempo stringe), ribadendo anzitutto per amor di leggibilità le regole acclarate da cui partiamo:

(a > 1) \wedge (a \in \mathbb{R}) \wedge (n\in\mathbb{N})
a^{n+1}=a\cdot a^n
a^0 = 1
a^{-n}=\frac{1}{a^n}
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}


Prima di iniziare con le dimostrazioni, integriamo il set di assunzioni e definizioni di cui sopra due definizioni necessarie per dare un senso a ciò che trattiamo:

- Una potenza a esponente intero è definita per induzione con la prime tre regole del nostro set iniziale.
- Una potenza a esponente razionale è definita come a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x} purché y \neq 0.

Andiamo:


La relazione a^{r_1 + r_2} = a^{r_1}a^{r_2} è banalmente ottenuta per r_1, r_2 \in \mathbb{N} applicando iterativamente la prima regola:
a^{r_1}a^{r_2} = a^{r_1}\cdot a \cdot a \cdot a \cdot... = a^{r_1 + r_2}
L'estensione al caso r_1, r_2 \in \mathbb{Z} è banale: se gli esponenti sono positivi allora essi sono elementi di \mathbb{N}, quindi vale quanto sopra, altrimenti basta applicare la terza regola per ricondursi a un rapporto di potenze con esponente in \mathbb{N}, per le quali possiamo dimostrare in modo banale la proprietà \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}.
Per quanto riguarda il caso r_1, r_2 \in \mathbb{Q}, riscriviamo la potenza come a^{\frac{x}{y}} e, ponendo y \neq 0 per ovvi motivi, analizziamo i vari casi :

- Se y = \pm 1, ricadiamo nel caso r_1, r_2 \in \mathbb{Z}, che abbiamo già trattato.
- In tutti gli altri casi, dobbiamo dimostrare che a^{\frac{x_1}{y_1}}a^{\frac{x_2}{y_2}} = a^{\frac{x_1y_2+x_2y_1}{y_1y_2}}. Riscrivendo i termini come a^{\frac{x_1y_2}{y_1y_2}} = \sqrt[y_1y_2]{a^{x_1y_2}} e a^{\frac{x_2y_1}{y_2y_1}} = \sqrt[y_1y_2]{a^{x_2y_1}}, possiamo sfruttare la regola del prodotto tra radicali con la stessa base (che si può dimostrare senza far ricorso alle formule che vogliamo discutere, per cui non c'è circolarità) per ottenere a^{\frac{x_1y_2}{y_1y_2}}a^{\frac{x_2y_1}{y_2y_1}} = \sqrt[y_1y_2]{a^{x_2y_1 + x_1y_2}} = a^{\frac{x_1y_2+x_2y_1}{y_1y_2}}.
Rispondo solo a chi si esprime correttamente in italiano.
Se non conosci un argomento, non parlarne.
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[25] Re: Chiacchiere di matematica

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 ago 2018, 15:45

Menomale che rispondi almeno fai sembrare che ciò che scrivo interessi a qualcuno :mrgreen:

Per i casi \mathbb{N} e \mathbb{Z}, ok.

Una potenza a esponente razionale è definita come a^{\frac{x}{y}} = \sqrt[y]{a^x}

E perché non \left(\sqrt[y]{a}\right)^x? ;-)

Riscrivendo i termini come a^{\frac{x_1y_2}{y_1y_2}}

Il fatto che a^{\frac{(x_1y_2)}{(y_1y_2)}} sia uguale a a^{\frac{x_1}{y_1}} va dimostrato, tenendo presente solo la definizione non è ovvio.

vorrei far di più, ma devo preparare un esame e il tempo stringe

Dopo l'esame allora sarà pura battaglia qui :D
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[26] Re: Chiacchiere di matematica

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 28 ago 2018, 16:08

Ianero ha scritto:E perché non \left(\sqrt[y]{a}\right)^x? ;-)


Perché i miei libri di matematica la definiscono in quell'altro modo e io mi fido :mrgreen:
Scherzi a parte, per essere sicuro ho consultato vari testi, e tutti loro danno come definizione quella che ho scritto :D

Ianero ha scritto:Il fatto che a^{\frac{(x_1y_2)}{(y_1y_2)}} sia uguale a a^{\frac{x_1}{y_1}} va dimostrato, tenendo presente solo la definizione non è ovvio.


Avendo posto y_1 \neq 0 e y_2 \neq 0, l'uguaglianza non è implicita per la proprietà invariantiva dei rapporti tra numeri interi? :-k
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[27] Re: Chiacchiere di matematica

Messaggioda Foto UtenteIanero » 28 ago 2018, 16:49

Scherzi a parte, per essere sicuro ho consultato vari testi, e tutti loro danno come definizione quella che ho scritto :D

Sono la stessa definizione, lascio quindi a te dimostrare perché.

l'uguaglianza non è implicita per la proprietà invariantiva dei rapporti tra numeri interi?

No, non puoi semplificare l'esponente, devi usare la definizione, che è l'unica cosa che hai finché non dimostri altre proprietà.
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