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Chiacchiere di matematica

MessaggioInviato: 23 ago 2018, 11:05
da Ianero
Da una chiacchierata con l'amico Foto Utentewruggeri...

Dimostrare che il calcolo del numero di Nepero è meglio approssimato dalla seguente formula:

\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\cdot n!}

piuttosto che dalla classica:

\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}

e fare un confronto in termini di errore al limite n\to\infty tra le due espressioni.

Re: Chiacchiere di matematica

MessaggioInviato: 23 ago 2018, 11:18
da wruggeri
Wow, sei stato celerissimo :D

Appena torno a casa mi ci metto :ok:

Re: Chiacchiere di matematica

MessaggioInviato: 23 ago 2018, 17:17
da wruggeri
Allora, cominciamo: notando che l'approssimante migliore è quella con il minor resto, dimostriamo quale delle due formule sia migliore come segue:

Diamo intanto un nome alle due formule, così possiamo scrivere i nostri calcoli in una forma più leggibile:

f(n) = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\cdot n!}
g(n) = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}

Notiamo ora che:

\frac{1}{n\cdot n!} = \frac{n+1}{n\cdot (n+1)!} = \frac{1}{(n+1)!}\left( 1 + \frac{1}{n} \right)

Questo ci permette di scrivere:

f(n) = \sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}+\frac{1}{n\cdot (n+1)!}

Possiamo allora calcolare il resto come:

R_{f(n)} = e - f(n) = \sum_{k=n+2}^{+\infty}\frac{1}{k!}-\frac{1}{n\cdot (n+1)!}

Per g(n), banalmente, il resto è:


R_{g(n)} = e - g(n) = \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k!}

Notiamo ora che \forall n  \in \mathbb{N}^+ (R_{f(n)} < R_{g(n)}), e precisamente:

R_{f(n)} = R_{g(n)} - \frac{1}{n\cdot (n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!}

Per cui abbiamo dimostrato ciò che ci interessava. Il comportamento limite dei due resti è ovvio, ma specifichiamolo: per n \rightarrow +\infty, in entrambi la somma tende ad annullarsi, e visto che anche \frac{1}{n\cdot (n+1)!} \rightarrow 0 possiamo concludere che ovviamente \lim_{n\rightarrow +\infty}R_{f(n)} = \lim_{n\rightarrow +\infty}R_{g(n)} = 0.

Ho risposto al quesito? :D

Re: Chiacchiere di matematica

MessaggioInviato: 23 ago 2018, 18:46
da Ianero
Ciao, mi fa piacere vedere che il problema ti abbia incuriosito.

Ho risposto al quesito?

No, l'espressione dell'errore come l'hai fornita è corretta, ma purtroppo inutile.
L'obiettivo che ci si pone è quello di stimare e nel miglior modo possibile, cioè ottenere un risultato più prossimo a quello vero a parità di termini coinvolti nella somma.
Ciò che interessa, allora, diventa una maggiorazione quanto più stringente possibile dell'errore dovuto al troncamento nei due casi, e non la sua forma esatta se quest'ultima è ancora espressa in termini di somma infinita.

Per cominciare a risolvere il problema posto, tenta innanzitutto di dimostrare che la formula classica conduce a un errore che verifica la seguente disuguaglianza:

0<E_n=e-\sum_{k=1}^{n}<\frac{1}{n\cdot n!}

la quale stavolta è una maggiorazione utile.

Per quanto riguarda il limite finale ne parliamo dopo, ma ti anticipo che non devi dimostrare che per n\to \infty i due resti tendono ad annullarsi, cosa sicuramente vera, ma chi domina su chi.

Re: Chiacchiere di matematica

MessaggioInviato: 23 ago 2018, 19:33
da wruggeri
Capisco... ci penso un po' e vedo cosa riesco a determinare :ok:

Re: Chiacchiere di matematica

MessaggioInviato: 23 ago 2018, 20:01
da wruggeri
Rieccomi :mrgreen:

Utilizzando la simbologia che avevo introdotto prima:

R_{g(n)} = e - g(n) = \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k!} = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \frac{1}{(n+3)!} + ...

Ora, ricordando che \frac{1}{n\cdot n!} = \frac{n+1}{n}\frac{1}{(n+1)!} e conoscendo la serie geometrica \sum_{k = 0}^{+\infty}x^k = \frac{1}{1-x} (ovviamente, ho considerato solo il caso |x| < 1, che è quello convergente nonché quello che ci interessa), possiamo scrivere:

\frac{1}{n\cdot n!} = \frac{n+1}{n}\frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{(n+1)!}\sum_{k = 0}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^k} = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} + ...

Questo dimostra la disuguaglianza che mi chiedevi, perché ovviamente:

\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} +... > \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)(n+1)!} + ...

(In realtà volevo mettere un altro paio di termini per lato giusto per rendere più evidente la cosa, ma non so perché il parser LaTeX da problemi)

Vado bene?

Re: Chiacchiere di matematica

MessaggioInviato: 23 ago 2018, 20:09
da Ianero
Bravo, ora cerca di trovare una stima dell'errore quando si effettua il calcolo con la seconda formula, e chiediti se e quando è migliore della prima.
Inoltre, ti faccio notare che la forma classica approssima e dal basso, controlla se vale lo stesso per la seconda o se succedono cose diverse.

Curiosità: con quello che hai appena dimostrato si può provare l'irrazionalità di e.

Re: Chiacchiere di matematica

MessaggioInviato: 23 ago 2018, 20:37
da DirtyDeeds
wruggeri ha scritto:In realtà volevo mettere un altro paio di termini per lato giusto per rendere più evidente la cosa, ma non so perché il parser LaTeX da problemi


Scrivi tutto quello che volevi scrivere senza metterlo tra i tag
Codice: Seleziona tutto
[tex][/tex]

ma mettilo tra i tag
Codice: Seleziona tutto
[code][/code]

che provo a vedere cosa c'è che non va.

Re: Chiacchiere di matematica

MessaggioInviato: 23 ago 2018, 20:52
da wruggeri
Ecco qui:

Codice: Seleziona tutto
\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)^2(n+1)!} +... > \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)(n+1)!} + \frac{1}{(n+3) +(n+2)(n+1)!} +...


Foto UtenteIanero: ora procedo con il calcolo dell'errore per l'altra... comunque, posso già dire che approssima per eccesso :ok:

Re: Chiacchiere di matematica

MessaggioInviato: 23 ago 2018, 20:58
da EdmondDantes
Spezzala in due

\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)^2(n+1)!} +... >

\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)(n+1)!} + \frac{1}{(n+3) +(n+2)(n+1)!} +...