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Richiesta chiarimenti su estremi di integrazione

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Richiesta chiarimenti su estremi di integrazione

Messaggioda Foto Utentenovizio » 21 apr 2019, 16:17

Stante le mie non elevate (per usare un eufemismo) competenze matematiche nel calcolo differenziale, sono qui a porre un quesito in merito agli estremi di integrazione.

Spiego prima il contesto - magari può aiutare - all'interno del quale nasce il mio dubbio. Dunque, dall'analisi di un integratore ideale o, come chiamano alcuni, non limitato, sappiamo che la tensione d'uscita è, a meno di una costante, pari all'integrale della tensione di ingresso.

fig1.png
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Infatti, nell'ipotesi che l'operazionale sia ideale, sappiamo che stante la sua impedenza di ingresso infinita possiamo eguagliare la corrente che scorre in R a quella che circola nel condensatore. E, sempre considerando ideale il nostro op amp, sappiamo che ai suoi ingressi esiste un cortocircuito virtuale. Pertanto:

i_{R}=\frac{v_{i}}{R}

i_{C}=C\cdot \frac{dv_{c}}{dt}=-C\cdot \frac{dv_{o}}{dt}

i_{C}=i_{R}\Rightarrow v_{o}(t)=-\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}v_{i}(\tau )d\tau

Ora, a parte la sottigliezza di appellare questo integrale con l'aggettivo definito, oppure indefinito (credo sia solo apparentemente definito in quanto, in realtà, esso non è un numero - ovvero un 'area - ma una funzione dell'estremo superiore di integrazione), il punto in cui ho difficoltà è il seguente:

posso sostituire l'estremo inferiore con un qualunque altro istante temporale, diciamo t1?

Ragionando in termini strettamente fisici mi pare di poter rispondere affermativamente a tale domanda. Infatti, supponendo che la tensione di ingresso sia costante nel tempo e pari a Vi, possiamo scrivere:

v_{o}(t)=-\frac{1}{RC}\int_{0}^{t}V_{i}d\tau=-\frac{V_{i}}{RC}\int_{0}^{t}d\tau=-\frac{V_{i}}{RC}\cdot t

Risultato che mi sembra corretto in quanto è nulla sia la quantità:

v_{o}(0)=-\frac{1}{RC}\int_{0}^{0}V_{i}d\tau=0

che la quantità:

v_{o}(0)=-\frac{V_{i}}{RC}\cdot 0=0

Sperando di non aver scritto castronerie, riformulo in termini simbolici il mio quesito:

Dato un integratore ideale, o non limitato, posso scrivere, per la tensione d'uscita, l'espressione:

v_{o}(t)=-\frac{1}{RC}\int_{t_{1}}^{t}v_{i}(\tau ))d\tau

dove l'estremo inferiore di integrazione rappresenta "la mia origine dei tempi", ovvero l'istante in cui comincio ad osservare il fenomeno?

Ed a tale istante dovrò riferirmi per tener conto della memoria del mio sistema (mi riferisco all'eventuale carica elettrica presente sulle armature di C all'istante t1).
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[2] Re: Richiesta chiarimenti su estremi di integrazione

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 22 apr 2019, 21:42

Due osservazioni brevi: non serve che l'operazionale abbia impedenza di ingresso infinita, per avere un op amp ideale basta guadagno infinito (o comunque molto elevato): vedi questo messaggio viewtopic.php?t=16478#p112710 .

Puoi mettere l'estremo di integrazione iniziale dove ti pare, ma devi sempre includere la condizione iniziale della tensione di uscita (pari alla tensione sul condensatore, eventualmente cambiata di segno), a meno che a t1 il condensatore non sia scarico e quindi l'uscita nulla.

Mi pare che questa domanda stia meglio in elettronica generale.
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[3] Re: Richiesta chiarimenti su estremi di integrazione

Messaggioda Foto Utentenovizio » 23 apr 2019, 0:00

Ottimo intervento. Grazie Isidoro per avermi fatto notare questa perla, che è poi opera tua!
Ho sempre pensato che per poter leggere - intendo comprendere - tutte le informazioni che oggi contiene il forum non basterebbe una vita (forse esagero ma forse no). E, in tutti i casi, non sarebbe tempo perso!

L'accezione di significato che dobbiamo dare all'aggettivo "virtuale", nel contesto oggetto di questo post, mi era chiaro, molto onestamente. Anche se, hai comunque fatto molto bene ad evidenziarlo.

Il passaggio che invece mi ha colpito è il seguente:
Fra i due ingressi invertente e non invertente e` presente una impedenza, detta impedenza di ingresso differenziale Z_\text{id}. In linearita` ai capi di questa impedenza non c`è tensione (V_\text{id}\approx 0) e se ai capi di una Z non c'e` tensione non ci passa corrente differenziale.
Ci sono operazionali che hanno R_\text{id} molto bassa (molto al di sotto del kiloohm), sono i current feedback, malgrado tutto si usano le stesse regole degli operazionali normali.


Ora, considerando una tensione di uscita limite di circa 15 volt, con un guadagno differenziale di 10^{5} (come è il caso del TL081) si ottiene una tensione differenziale di 150 uV circa. Tensione che produce l'assorbimento di una corrente differenziale 0,15 fA. Certamente trascurabile in tutte le applicazioni immaginabili.
Nel caso di un current feedback, che onestamente non conosco, si giunge comunque all'assorbimento di una corrente differenziale 150 nA. Comunque ancora piccola.

Ancora grazie per questa meravigliosa lezione.

Sulla questione dell'estremo inferiore di integrazione ci devo riflettere ancora e poi ti rispondo.
:-)
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[4] Re: Richiesta chiarimenti su estremi di integrazione

Messaggioda Foto Utentenovizio » 23 apr 2019, 0:18

Avevo preparato questo intervento ma, solo ora, mi accorgo che è privo di senso. Ciononostante lo riporto qui per sottolineare, ancora una volta ed ovemai ve ne fosse bisogno, la mia ignoranza in merito.

Allora, pensavo di rispondere così:

Ma la mia proposta non contiene già, in sè, la condizione iniziale? Se, ad esempio, la tensione di ingresso fosse costante e pari a V si avrebbe:

v_{o}(t)=-\frac{1}{RC}\int_{t_{1}}^{t}Vd\tau=-\frac{V}{RC}\cdot t+\frac{V}{RC}\cdot t_{1}

dove il secondo termine rappresenterebbe proprio la condizione iniziale, ovvero la tensione d'uscita all'istante t1. Però, poi, mi accorgo che:

v_{o}(t_{1})=-\frac{V}{RC}\cdot t_{1}+\frac{V}{RC}\cdot t_{1}=0

E questo significherebbe che la tensione d'uscita, all'istante t1, è sempre nulla. Il che è palesemente errato!

Ho bisogno di rifletterci ancora.
Scusate.
:(
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[5] Re: Richiesta chiarimenti su estremi di integrazione

Messaggioda Foto Utentenovizio » 23 apr 2019, 0:27

Allora devo, necessariamente, scrivere in questo modo:

v_{o}(t)=-\frac{1}{RC}\int_{t_{1}}^{t}Vd\tau+k

dove k, costante di integrazione, rappresenta la tensione d'uscita all'istante t1. Infatti:

v_{o}(t_{1})=-\frac{1}{RC}\int_{t_{1}}^{t_{1}}Vd\tau+k=k

Ora penso che possa andare, vero?

Grazie.
:-)
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[6] Re: Richiesta chiarimenti su estremi di integrazione

Messaggioda Foto UtenteIsidoroKZ » 23 apr 2019, 8:49

Mi pare che vada.
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[7] Re: Richiesta chiarimenti su estremi di integrazione

Messaggioda Foto Utentenovizio » 23 apr 2019, 11:24

Grazie Isidoro.
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