ElectroYou

salve a tutti, sono uno studente di ingegneria e, per una base di matematica non proprio delle migliori, trovo problemi nella risoluzioni di limiti come questo.

$\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{1+x^{2}+2x^{\alpha }}-\cos x}{x+x^{\alpha }}$

con $\alpha > 0$

Il problema non è lo studio del limite, ma del suo studio legato al parametro alpha.
Sono arrivato alla soluzione (spero giusta) dell'esercizio a tentativi, dando cioè dei valori ad alpha e studiando il limite ogni volta, ma mi rendo conto che questo non è il metodo più corretto ne il più veloce.
Esistono dunque dei metodi che mi permettono di arrivare alla soluzione di limiti come questo senza dare arbitrariamente dei valori ad alpha o altri parametri che entrano in gioco?
Ad ogni modo il risultato da me trovato è:

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{\infty}}}\Rightarrow 0$

Ringrazio tutti già da ora per il tempo speso

Perché trovi necessario dare un valore ad alpha per risolvere questo limite? Tra l'altro non puoi assegnare il valore di infinito ad $\alpha$ non essendo un numero reale o naturale. Dovresti fare un limite di un limite e la cosa non viene richiesta/concessa. Prova a postare i passaggi che hai fatto :). La soluzione è più semplice di quello che ti aspetti.

$\alpha$ è strutturale, non ha niente a che vedere con il limite in sé.
Quello che devi imparare a fare è solo trovare un modo per separare i casi che possono capitare quando $\alpha$ spazia tra tutti i valori (fissati) che potrebbe assumere.
In questo caso nemmeno serve: perché?

fairyvilje ha scritto:Perché trovi necessario dare un valore ad alpha per risolvere questo limite? Tra l'altro non puoi assegnare il valore di infinito ad $\alpha$ non essendo un numero reale o naturale. Dovresti fare un limite di un limite e la cosa non viene richiesta/concessa. Prova a postare i passaggi che hai fatto :). La soluzione è più semplice di quello che ti aspetti.

I passaggi che ho eseguito (spero corretti) sono i seguenti:
$\alpha=1$

$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[3]{1-x^{2}+2x}-cosx }{x+x}\Rightarrow\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[3]{x^{2}(\frac{1}{x^{2}}-1+\frac{2}{x})}-cosx }{2x}$

$\Rightarrow\lim_{x\to\infty}\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{x}}\Rightarrow\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt[3]x}\Rightarrow0$

$\alpha=2$

$\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{1+x^{2}}-cosx }{x+x^{2}}\Rightarrow\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{x^{2}}\Rightarrow\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}}\Rightarrow0$

i termini divisi per x tendono a 0, le costanti e il coseno li ho considerati ininfluenti per $x\to\infty$
Questi sono solo due esempi, io ne ho eseguiti altri con valori differenti. Comunque i passaggi sono praticamente uguali e (a scanso di errori commessi) al crescere di $\alpha$ la
funzione tende sempre più velocemente a 0, quindi sono arrivato alla conclusione che per

$\alpha>0$

e

$x\rightarrow\infty$

la funzione tende a o più velocemente al crescere sia di $\alpha$ che di

.

Non so se la soluzione da me trovata sia giusta o, almeno, se scritta nel modo corretto (il professore non ha dato la soluzione per questi esercizi)

Prova a riscrivere i passaggi mantenendo alpha all'interno dell'espressione :).
Fondamentalmente hai tre intervalli e due punti che ti interessa studiare. La soluzione numericamente non cambia, ma il modo in cui converge si.

Se mantengo il parametro alpha all'interno come posso studiare il limite però? Effettivamente (omettendo i passaggi precedenti) otterrei

$\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{x^{\alpha }}}{x^{\alpha}}\Rightarrow\lim_{x \to \infty}x^{\frac{\alpha}{3}-\alpha}\Rightarrow\lim_{x \to \infty}\frac{{1}}{\sqrt[3]x^{2\alpha}}\Rightarrow0$

ma eseguire le proprietà delle potenze su dei parametri che sono maggiori di 0 (e quindi, credo, possono essere assunti come infinito) non sarebbe una sorta di ""forma indeterminata""?

quartz1799 ha scritto: $\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{1+x^{2}+2x^{\alpha }}-\cos x}{x+x^{\alpha }}$

con $\alpha > 0$

Se ti posso dare un consiglio, riscrivi il tuo limite così:

$\lim_{x \to \infty}\frac{x^{\alpha /3 }\sqrt[3]{\frac{1}{x^{\alpha }}+\frac{1}{x^{\alpha-2}}+2}-\cos x}{x+x^{\alpha }}\quad \text{quando}\; \alpha\geq 2$

e così:

$\lim_{x \to \infty}\frac{x^{2/3}\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}+1+2\frac{1}{x^{2-\alpha }}}-\cos x}{x+x^{\alpha }}\quad \text{quando}\; \alpha<2$

Ora trai le conclusioni.

In realtà introdurrei uno studio anche prima e dopo il punto 1. Questo per via di quello che accade sul denominatore. Ok non cambia niente alla fine dei conti, ma visto che è un esercizio "prototipo" valuterei anche questo aspetto visto che determina un cambio nel monomio col grado più alto.

Diventa un di più, perché basta che nota che 2/3 < 1

, quindi nella seconda espressione del limite, qualunque sia $\alpha <2$ , c'è già un x^1

al denominatore che abolisce il numeratore, indipendentemente da chi sia il monomio più alto al denominatore. :)

Ianero ha scritto:Se ti posso dare un consiglio, riscrivi il tuo limite così:
...
Ora trai le conclusioni.

Ho capito perché hai fatto questi passaggi, ma il risultato del limite non è comunque simile? Sia che $\alpha \geq 2$ o $\alpha < 2$ ottengo comunque un limite che tende a 0.

ElectroYou

Studio del limite con parametri variabili

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