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Salve a tutti, ho un "problema" con un esercizio svolto trovato su un video su youtube, che sembra anche di banale risoluzione
Il testo è il seguente:

$\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+\frac{1}{n})$

Prima di vederne lo svolgimento ho provato ad eseguirlo per conto mio e, semplicemente, sono arrivato alla conclusione che questa serie converge a 0 per $n \to \infty$ .
Secondo i miei calcoli e passaggi otterrei infatti:

$\lim_{n \to \infty}ln(1+\frac{1}{n})\rightarrow\lim_{n \to \infty}ln(1+0)\rightarrow ln(1)=0$

Quindi andrei a sommare valori sempre più piccoli e tendenti a ln(1)

, quindi 0.

I passaggi eseguiti dall'autore del video (che ho compreso comunque senza alcun problema) portano però ad un risultato completamente opposto.
Vi espongo brevemente questi passaggi:

$\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+\frac{1}{n})\rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\ln(\frac{n+1}{n})$
$\rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\ln({n+1})-\ln(n)$

Sviluppando la sommatoria ottiene in fine il suo risultato:

$\ln({n+1})$

che, chiaramente, diverge a $+\infty$
Il problema è che non riesco a capire cosa ci sia di sbagliato nei miei passaggi che, secondo me, hanno un senso matematico e logico.
Ringrazio tutti per il tempo speso ad aiutare me e chi può avere simili dubbi.

Cerca serie telescopiche.
E poi dovresti ripassare il significato di successione delle ridotte e le definizioni di serie convergente, divergente e indeterminata. ;-)

So che quella è una serie telescopica, ho capito i passaggi che ha eseguito e perché è arrivato a quel risultato, ma mi sfugge perché i miei non sono giusti. Perché non posso agire direttamente sul testo ma devo svilupparla per forza? non dovrei arrivare al medesimo risultato?

quartz1799 ha scritto:ma mi sfugge perché i miei non sono giusti.

EdmondDantes ha scritto:E poi dovresti ripassare il significato di successione delle ridotte e le definizioni di serie convergente, divergente e indeterminata.

In aggiunta osserva sul tuo libro gli esempi sui limiti, in generale. I passaggi intermedi non si scrivono come hai fatto tu. ;-)

quartz1799 ha scritto:...
sono arrivato alla conclusione che questa serie converge a 0 per $n \to \infty$ .
Secondo i miei calcoli e passaggi otterrei infatti:

$\lim_{n \to \infty}ln(1+\frac{1}{n})\rightarrow\lim_{n \to \infty}ln(1+0)\rightarrow ln(1)=0$

Quindi andrei a sommare valori sempre più piccoli e tendenti a , quindi 0.
...

Penso sia sbagliato perché hai calcolato che il termine generale della serie, $ln(1+\frac{1}{n})$ per intenderci, é infinitesimo (per ${n \to \infty}$ ), ma si tratta solo della verifica di una condizione necessaria, non é il risultato della somma!

Come del resto $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ : il termine generale é infinitesimo, ma la serie diverge (serie armonica)

Quindi dovrei in ogni caso trovare il risultato della serie ed agire su quella? Ma comunque non dovrebbero portare allo stesso risultato?

Si, dovresti comunque cercare il risultato perché si tratta di una condizione sufficiente. Suggerisco la lettura di questo link, da una fonte attendibile: https://www.youmath.it/lezioni/analisi- ... auchy.html

Puoi usare il criterio di convergenza dell'integrale:

https://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_d ... 'integrale

Argomento della sommatoria è continuo, positivo e monotonicamente decrescente nell'intervallo della sommatoria. Il suo integrale:

$\int {\log \left(1 + {{1}\over{n}}\right)}{\;dn} = \log \left(1+n\right)+\log \left(1 + {{1}\over{n}}\right)\,n + C$

Per $n \to \infty$ diverge, quindi la serie diverge

hey... non è detto che la serie converga se il limite per n che tende ad infinito del termine è zero, mentre è vero il contrario, cioè che la serie diverge se quel limite è non nullo!

Duffr ha scritto:Si, dovresti comunque cercare il risultato perché si tratta di una condizione sufficiente. Suggerisco la lettura di questo link, da una fonte attendibile: https://www.youmath.it/lezioni/analisi- ... auchy.html

Perfetto, grazie mille. Corro a vedere questo link

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esercizio sulle serie e successioni

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Re: esercizio sulle serie e successioni

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