ElectroYou

E' da un po' che non faccio una domanda su questo forum, ci riprovo. :-)

Ho capito che in generale, dati due spazi $(X,|\cdot |_X)$ e $(Y,|\cdot |_Y)$ , un insieme $U\subset X$ aperto in

e una funzione $f:U\to Y$ , si ha che:

$f':U\to \mathcal{L}(X,Y)$
$f'':U\to\mathcal{L}(X,\mathcal{L}(X,Y))$

che come concetto astratto è chiaro.
Se prendiamo il caso particolare $X=Y=\mathbb{R}$ e f(x)=x^3

, ho che $f':\mathbb{R}\to \mathcal{L}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ è f’(x;h_1)=(3x^2)h_1

. Non riesco a fare il passo ulteriore per f''(x)

. Quando normalmente in analisi reale scriviamo che f''(x)=6x

, chi è in realtà la mappa $f'':\mathbb{R}\to \mathcal{L}(\mathbb{R},\mathcal{L}(\mathbb{R},\mathbb{R}))$ ?

PS: $\mathcal{L}(X,Y)$ è l'insieme delle mappe continue e lineari da

in

.

esiste?

Come sempre ti ringrazio di rispondere, ma come sempre ti chiedo (se puoi e per favore) di essere meno criptico, altrimenti (per mio limite) io non capisco cosa vuoi dirmi.
Esiste cosa? La derivata seconda intesa nel senso generale? Immagino di si, perché se esiste nel senso comune, immagino che debba esistere anche nell’altro senso, altrimenti saremmo nella situazione in cui il caso particolare non è appunto un caso particolare coerente con una formulazione più generale.

Premesso che non ci sto capendo ancora granché, ho fatto il ragionamento seguente.
Se $f'':U\to\mathcal{L}(X,\mathcal{L}(X,Y))$ esistesse, dovrei avere per forza che:

$f''(x_0)(h_2,h_1)=f''(x_0)(h_1,h_2):=\underbrace{\left(\underbrace{\underbrace{f''(x_0)}_{\in\mathcal{L}(X,\mathcal{L}(X,Y))}(h_1)}_{\in\mathcal{L}(X,Y)}\right)(h_2)}_{\in Y}$

ma ciò non si verifica in quanto, calcolando

con la derivazione ricorsiva rispetto ai vettori generici h_1

e

, ottengo che:

f''(x_0)(h_1,h_2)=6x_0 h_1

che ovviamente in generale non ha proprietà di simmetria.
Quindi che dovrei dedurre? Che la derivata seconda di x^3

non esiste?

Proprio così

E come si concilia questa cosa col fatto che in analisi reale scriviamo tranquillamente che essa esiste ed è pari a 6x?

Comincio a sospettare che nel modo classico si pensa in realtà a f’ ‘(x_0)(h,h)

invece che f’ ‘(x_0)(h_1,h_2)

.
Se è così, non riesco a capire perché però.

distribuzioni

Posso sapere se la risposta è si o è no? Almeno so se devo cercare di capire una cosa giusta o meno.
Comunque quando dici distribuzioni non so di cosa stai parlando. Neanche il libro le ha ancora introdotte.

il discorso è che senza introdurre le distribuzioni otterrai che lo spazio non esiste ms la derivata sì

ElectroYou

Derivate di mappe tra spazi vettoriali

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