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Trasformazioni e invarianza di Lorentz

MessaggioInviato: 17 ott 2020, 19:50
da IlGuru
Questo lungo post, è per chiedere a chi conosce la matematica molto meglio di me se la dimostrazione che ho trovato è corretta o se mi sono preso troppe libertà.

Studiando relatività ristretta ed algebra lineare nel tempo libero tramite corsi online ( principalmente corsi universitari su youtube ) non sono riuscito a trovare una dimostrazione per i segni - nell'invarianza di Lorentz.
In un recente post nel forum Fisica Generale avevo introdotto alcune convenzioni per ricavare le trasformazioni di Lorentz che vorrei continuare ad usare per semplicità e comodità:
Consideriamo due sistemi di coordinare nello spaziotempo F ed F' in moto relativo tra di loro alla velocità normalizzata rispetto alla velocità limite \beta
I generici vettori nei due sistemi di coordinate sono X=\begin{bmatrix}x_0 \\ x_1\end{bmatrix} e X'=\begin{bmatrix}x'_0 \\ x'_1\end{bmatrix}
dove x_0 = ct e x'_0 = ct'
Con queste convenzioni avevo ricavato la matrice di trasformazione di coordinate
X'=T.X con T=\gamma . \begin{bmatrix}1 \ & -\beta \\-\beta & 1\end{bmatrix} e \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}

Ora, che lo spaziotempo di Minkowski sia iperbolico è evidente dalle geodetiche di questo spazio, se imponiamo un valore in X' e tramite l'inversa di T ricaviamo come si trasforma X al variare di \beta vediamo disegnarsi delle belle iperboli ed a questo punto posso ricorrere alla trigonometria iperbolica ed all'identità 1 = \cosh(x) - \sinh(x) per intuire che in questo spazio il teorema di pitagora non è come nello spazio euclideo, che i quadrati dei cateti si sottraggono e quindi le distanze si calcolano come ds^2 = x^2_0 - x^2_1 ...

Non avendo trovato una dimostrazione che mi piacesse, ho provato così:

Cerco una generica forma bilineare simmetrica G ( che al momentio non conosco ) per misurare una distanza generica tra eventi nello spazio-tempo e voglio che questa distanza sia invariante rispetto a due generici sistemi di coordinare che si trasformano tramite l'endomorfismo T

G=\begin{bmatrix}g_{00} & g_{01} \\ g_{01} & g_{11}\end{bmatrix} ho già scritto g_{01} al posto di g_{10} perché voglio che G sia simmetrica

Voglio che la distanza misuata sia invariante nei due sistemi di riferimento, quindi
G.X.X = G.X'.X' con X' = T.X

Posso trasporre il primo prodotto a destra in entrambi i membri:
(G.X)^\intercal.X = (G.X')^\intercal.X' \rightarrow (X^\intercal.G^\intercal).X = (X'^\intercal.G^\intercal).X'
e grazie al fatto che G è simmetrica X^\intercal.G.X = X'^\intercal.G.X'
X'^\intercal = (T.X)^\intercal quindi grazie al fatto che T è simmetrica X'^\intercal = X^\intercal.T
Sostituando X' e X'^\intercal
X^\intercal.G.X = X^\intercal.T.G.T.X

X^\intercal e X^\intercal sono vettori non nulli, quindi li posso "semplificare" moltiplicando a destra ed a sinistra per opportuni vettori il cui prodotto dia la matrice identica ( questa però forse è una delle licenze che mi prendo )
Ottengo l'equazione
G = T.G.T
Risolvendola così si ottiene un sistema di equazioni con formulacce brutte con quadrati di \gamma e di 1 + \beta dappertutto, quindi cerco di equilibrare entrambi i membri moltiplicando a destra per l'inversa di T ( T è invertibile )
S=T^{-1}=\gamma . \begin{bmatrix}1 \ & \beta \\ \beta & 1\end{bmatrix}
S.G = S.T.G.T \rightarrow S.G = G.T \rightarrow S.G-G.T=0

Eseguendo il prodotto e semplificando (da qui i conti li ha fatti Maxima Linear Algebra) si ottiene
\gamma . \begin{bmatrix}2\beta g_{01} & \beta g_{11}+\beta g_{00} \\ \beta g_{11}+\beta g_{00} & 2 \beta g_{01} \end{bmatrix} = 0

Semplifichiamo per \gamma dato che \gamma \neq 0, otteniamo un sistema di 4 equazioni ( 2 dipendenti dalle altre ) nelle 3 incognite g_{00}, g_{01} e g_{11} quindi una sarà un parametro libero di variare
\begin{cases}
  2\beta g_{01} &= 0 \\
  \beta g_{11}+\beta g_{00} &= 0 \\
  \beta g_{11}+\beta g_{00} &= 0 \\
  2 \beta g_{01} &= 0 
\end{cases}

Risolvendo si ottiene g_{00} = -g_{11} e g_{01} = 0, possiamo prendere g_{00} = 1 ed otteniamo G=\begin{bmatrix}1& 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

Utilizzando questa forma bilineare con i vettori X ed X' otteniamo:
S^2 = G.X.X = G.X'.X' = x_0.x_0 - x_1.x_1 = x'_0.x'_0 - x'_1.x'_1
In generale G.X.X = g_{\mu,\nu}.x_{\mu}.x_{\nu} con \mu, \nu indici tra 0 ed 1

Che è quello che volevo ottenere.

Ma è corretto tutto ciò?

La cosa pazzesca è che nelle equazioni per calcolare G compare solo \beta e non \gamma, nell'invarianza di Lorentz la velocità limite gioca un ruolo fondamentale e da atto a delle simmetrie che hanno qualcosa di intrinsecamente bello.

( Seguiranno correzioni di questo post man mano che troverò errori di battitura. )