Domande su articolo di R. S. Elliott
Inviato: 4 nov 2020, 18:04E' noto* che la direttività di un array di antenne, quando le eccitazioni relative dei singoli elementi radianti sono quelle che producono un pattern somma alla Chebyshev, la direttività assume la seguente espressione matematica:
![D=\frac{2N+1}{1+\frac{2}{b^2}\sum_{p=1}^N \left[T_{2N} \left(u_0\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]^2}](/forum/latexrender/pictures/3a3ce76f70828bd40240b1968a7961b6.png "D=\frac{2N+1}{1+\frac{2}{b^2}\sum_{p=1}^N \left[T_{2N} \left(u_0\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]^2}")
dove
è naturale (
è il numero di elementi), 
e tale che 
(
è il polinomio di Chebyshev di ordine 
).
Nello stesso articolo l'autore afferma che per
l'espressione sopra ha limite, pari a 
.
Ciò non mi sembra essere vero già nel caso semplice in cui
. Considerando infatti proprio questa situazione, l'espressione della direttività si può riscrivere come:
![D=\frac{2+1/N}{\frac{1}{N}+\frac{1}{b^2}\left\{ 1+\frac{\sum_{p=1}^N \cos\left[4N\cos^{-1} \left(1\cdot\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]}{N}\right\}}](/forum/latexrender/pictures/a77ade1857d9e5e22c9cd4989461d1b6.png "D=\frac{2+1/N}{\frac{1}{N}+\frac{1}{b^2}\left\{ 1+\frac{\sum_{p=1}^N \cos\left[4N\cos^{-1} \left(1\cdot\cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]}{N}\right\}}")
pertanto, se deve essere vero quello che dice l'autore, deve essere per forza vero che:
![\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N \cos\left[4N\cos^{-1} \left(1\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]}{N}=0](/forum/latexrender/pictures/f8e1a7f6653b9ec2f0419e96f63d901f.png "\lim_{N\to\infty}\frac{\sum_{p=1}^N \cos\left[4N\cos^{-1} \left(1\cdot \cos\frac{p\pi}{2N+1}\right)\right]}{N}=0")
cosa ovviamente falsa, in quanto quel limite fa 1 e non 0.
EDIT: Vedere messaggio [5].
[*] Beamwidth and directivity of large scanning arrays, First of two parts, R. S. Elliott
dove
è naturale ( è il numero di elementi), e tale che ( è il polinomio di Chebyshev di ordine ).Nello stesso articolo l'autore afferma che per
l'espressione sopra ha limite, pari a .Ciò non mi sembra essere vero già nel caso semplice in cui
. Considerando infatti proprio questa situazione, l'espressione della direttività si può riscrivere come:pertanto, se deve essere vero quello che dice l'autore, deve essere per forza vero che:
cosa ovviamente falsa, in quanto quel limite fa 1 e non 0.
EDIT: Vedere messaggio [5].
[*] Beamwidth and directivity of large scanning arrays, First of two parts, R. S. Elliott
, anche da 
![\frac{\sin\left [ \left ( 2N+1 \right ) u_0\right ]}{\sin(u_0)}\sum_{p=-P}^Pa_p\cos(p\pi)\left [\frac{\sin(u_0)}{\sin(u_p)} -1+1 \right ]](/forum/latexrender/pictures/47b3f833e02cc37a7d525b98c255ea33.png "\frac{\sin\left [ \left ( 2N+1 \right ) u_0\right ]}{\sin(u_0)}\sum_{p=-P}^Pa_p\cos(p\pi)\left [\frac{\sin(u_0)}{\sin(u_p)} -1+1 \right ]")
, 
(in cui 
e 
), e dice che la possiamo approssimare in questo modo:![( 2N+1)\frac{\sin\left [ \left ( 2N+1 \right ) u_0\right ]}{( 2N+1)u_0}\left \{ a_0+\sum_{p=1}^P2a_p\cos(p\pi) \right \} -](/forum/latexrender/pictures/54623a96aac7d456d54645b474864e10.png "( 2N+1)\frac{\sin\left [ \left ( 2N+1 \right ) u_0\right ]}{( 2N+1)u_0}\left \{ a_0+\sum_{p=1}^P2a_p\cos(p\pi) \right \} -")
![- ( 2N+1)\frac{\sin\left [ \left ( 2N+1 \right ) u_0\right ]}{( 2N+1)u_0}\sum_{p=1}^P2a_p\cos(p\pi)\frac{p^2}{p^2-K^2}](/forum/latexrender/pictures/9d9bccfc17e9d1c5af311abe0c70d266.png "- ( 2N+1)\frac{\sin\left [ \left ( 2N+1 \right ) u_0\right ]}{( 2N+1)u_0}\sum_{p=1}^P2a_p\cos(p\pi)\frac{p^2}{p^2-K^2}")
, perché "
and 
are small and 
is a small integer".
, e mi viene fuori la stessa espressione, con l'unica differenza che io ho il fattore 
anziché il suo 
.
come polinomio e ad espandere in serie i termini 
, tentando di raggiungere una serie geometrica che mi semplificasse tutto a catena, ma resta comunque un inferno.
. 