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Dato un sottoinsieme $A\subseteq X$ e un punto $x_0 \in X$ ,
$d(x_0,X)=0 \Leftrightarrow x_0 \in \overline{A}$

Per quanto riguarda l'implicazione inversa, ho ragionato cosi:

Hp $x_0 \in \overline{A}$

1) $x_0 \in A$
Essendo la distanza dall'insieme

definita come $d(x_0,A)=inf\left \{ d(x_0,x):x \in A \right \}$ , per le proprietà della distanza e per la definizione di inf

,
$0 \le d(x_0,A) \le d(x_0,x) \forall x \in A$
In particolare per x=x_0

segue direttamente che d(x_0,A)=0

2) $x_0 \in DA$
Esisterà una successone x_n

di punti di $A-\left \{x_0 \right \}$ convergente ad x_0

e quindi
$0 \le d(x_0,A) \le d(x_0,x_n)$
Passando al limite d(x_0,A)=0

Sono giusti i miei ragionamenti? In particolare il caso 1 non mi convince tanto.

Per quanto riguarda l'implicazione diretta non saprei come muovermi. Avevo pensato di partire dalla definizione $d(x_0,A)=inf\left \{ d(x_0,x):x \in A \right \}$ ma non riesco ad andare avanti. Come potrei fare?

Per quanto riguarda l'implicazione $\Leftarrow$ , al di là della formalizzazione più o meno precisa, va bene.

quapakko ha scritto:Per quanto riguarda l'implicazione diretta non saprei come muovermi.

Se $d(x_0,A):=\inf_{x\in A} d(x_0,x)=0$ , vuol dire che o $x_0\in A$ e quindi tutto è banale, oppure $x_0\notin A$ e di conseguenza (siccome $\inf_{x\in A} d(x_0,x)=0$ ) esistono punti di

arbitrariamente vicini a x_0

, il che per definizione significa $x_0\in\partial A$ .

Perfetto! Quindi nel caso $x_0 \notin A$ , posso costruire una successione di punti convergente ad x_0

che sarà dunque un punto di accumulazione.

quapakko ha scritto:
1) $x_0 \in A$
Essendo la distanza dall'insieme definita come $d(x_0,A)=inf\left \{ d(x_0,x):x \in A \right \}$ , per le proprietà della distanza e per la definizione di ,
$0 \le d(x_0,A) \le d(x_0,x) \forall x \in A$
In particolare per segue direttamente che

Come potrei formalizzare meglio questa parte?

Grazie per l'aiuto

quapakko ha scritto:Come potrei formalizzare meglio questa parte?

$x_0\in A\Rightarrow d(x_0,A)=\inf_{x\in A}d(x_0,x)=d(x_0,x_0)=0=\min_{x_\in A}d(x_0,x).$

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Punto di chiusura e distanza da un insieme

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Re: Punto di chiusura e distanza da un insieme

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