ElectroYou

Premesso che la domanda è puramente matematica e non ha a che vedere con l'elettromagnetismo, fornisco comunque un po' di contesto. Studiando sul libro 'Antenna theory and design' di R.S.Elliott, pag. 22, mi trovo di fronte a questa espressione:

$\frac{\rho}{\epsilon_0}\nabla\psi-j\omega\mu_0\psi \mathbf{J}$

dove $\rho$ è la densità di carica, $\mathbf{J}$ è la densità di corrente, $\omega$ è la pulsazione, $\epsilon_0,\mu_0$ sono le costanti elettromagnetiche del vuoto e $\psi = \frac{e^{-jk\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}}$ ( (x_0,y_0,z_0)

punto fissato).
Detto questo, cariche e correnti sono legati dall'equazione di continuità: $\nabla\cdot \mathbf{J}=-j\omega\rho$ , che il mio libro afferma di utilizzare per passare dall'espressione di sopra, alla seguente:

$\frac{1}{j\omega\epsilon_0}[(\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi+k^2\psi \mathbf{J}]$

dove $k^2 =\omega^2\mu_0\epsilon_0$ .

Sto tentando di dimostrare questa cosa ma non ci riesco. In particolare, le due espressioni sono identiche se accade che: $-(\nabla\cdot\mathbf{J})\nabla\psi=(\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi$ . Se faccio i passaggi però ottengo che:

$-(\nabla\cdot\mathbf{J})\nabla\psi = -\sum_{j=1,2,3}\partial_jJ_j \sum_{i=1,2,3,}\mathbf{e}_i\partial_i\psi = -\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}[\partial_j(J_j\partial_i\psi)-J_j\partial_i\partial_j\psi] =$
$=-\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}\partial_j(J_j\partial_i\psi) +\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}J_j\partial_i\partial_j\psi =$
$=-\sum_{i=1,2,3}\mathbf{e}_i\sum_{j=1,2,3}\partial_j(J_j\partial_i\psi) + (\mathbf{J}\cdot\nabla)\nabla\psi$

dunque a questo punto il primo addendo alla fine dovrebbe essere nullo, ma non capisco perché.
Qualcuno vede il motivo?

Non so se può essere utile, ma questa espressione viene integrata in un volume generico e l'uguaglianza per cui è tra gli integrali.

Biagio Biagio...
$\rho=\text{j}\frac{1}{\omega}\nabla\cdot \mathbf{J}$

Siete magici, questo è stato un topic emozionante. Non mi sono messo a provarci perché so che ci avrei messo un'intera giornata (e senza successo garantito) e sicuramente qualcuno avrebbe risposto prima.

Mica ho capito...
Scusate, ma non ho fatto nessun progresso.

sostituisci nella prima formula...

$j\frac{\nabla\cdot\mathbf{J}}{\omega\epsilon_0}\nabla\psi-j\omega\mu_0\psi \mathbf{J}$

E quindi?
Lui parla di $\mathbf{J}\cdot\nabla$ .

che relazione c’è fra i soliti sospetti?

Ma non possiamo lasciar perdere il 'mistero'?
Ci ho pensato a lungo prima di scrivere qui: mi serve una mano, per favore, fine.

ok, comincia a esplicitare k

ElectroYou

Identità che non capisco

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