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Curiosità su trasformata di Fourier?

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Curiosità su trasformata di Fourier?

Messaggioda Foto UtenteOmi » 30 set 2021, 21:35

Salve a tutti, ho iniziato a fare esercizi sulle trasformate di Fourier e volevo capire una cosa. Preso questo segnale, di cui ho fatto la trasformata di Fourier sotto :
x(t)=-t[u(t+\pi)-u(t)]+\pi[u(t)-u(t-\pi)]

X(w)=(e^{-i \pi w}/w^2)-1/w^2-(\pi i/w)

Ho visto che in numerosi esercizi, per ricavare la trasformata di Fourier in zero, usa fare il limite, però in questo caso, nel ricavare X(0) il \lim_{w -> 0} X(w) viene -\infty.

Mentre se facessi X(0)= -\int_{-\pi}^{0} t dt +\pi \int_{0}^{\pi}  dt =3/2\pi^2 . Come mai questa cosa?
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[2] Re: Curiosità su trasformata di Fourier?

Messaggioda Foto UtentedrGremi » 30 set 2021, 23:06

u cosa sarebbe, il gradino unitario? Perché non ti scrivi le differenze di gradini come rect e trasformi con la formula della trasformata della rect che ti viene direttamente un seno cardinale ed è meno prono ad errori?
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[3] Re: Curiosità su trasformata di Fourier?

Messaggioda Foto UtenteOmi » 30 set 2021, 23:15

Si u è la funzione gradino, perdonami per non averlo specificato. Per quanto riguardo il consiglio sulla rect, non l'abbiamo studiata come funzione..
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[4] Re: Curiosità su trasformata di Fourier?

Messaggioda Foto UtentedrGremi » 30 set 2021, 23:18

La rect è la differenza di 2 gradini. Se fai un gradino in -pi meno un gradino in 0 hai una rect centrata in meno Pi/2 di larghezza Pi (o Pi/2 in base alla definizione).

Omi ha scritto:Si u è la funzione gradino, perdonami per non averlo specificato. Per quanto riguardo il consiglio sulla rect, non l'abbiamo studiata come funzione..

Stai facendo teoria dei segnali (o telecomunicazioni?) Vabbè ogni università gli dà il nome che vuole.
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[5] Re: Curiosità su trasformata di Fourier?

Messaggioda Foto UtenteOmi » 30 set 2021, 23:27

No metodi matematici. Grazie comunque per la spiegazione sulla rect.
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[6] Re: Curiosità su trasformata di Fourier?

Messaggioda Foto UtentedrGremi » 1 ott 2021, 18:37

Puoi esplicitare come hai fatto la trasformata di Fourier? Sei sicuro sia corretta? Ora onestamente dovrei mettermi carta e penna a controllare (o ricopiarla su Wolfram matematica).

Comunque il limite della trasformata per frequenza nulla è il valore medio del segnale. Per essere precisi se qualcuno si volesse cimentare con i conti per fare le cose congruenti al tuo corso servirebbe sapere anche come avete definito la trasformata (la normalizzazione è nella trasformata, nell'antitrasformata oppure è ripartita su entrambe?).
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[7] Re: Curiosità su trasformata di Fourier?

Messaggioda Foto UtenteOmi » 3 ott 2021, 20:35

Scusa se ho risposto in ritardo Gremi, ma tra lavoro e impegni personali ho davvero poco tempo, spero non mi abbandonerai per questo :roll:
Allora per quanto riguarda la definizione di trasformata di Fourier, noi abbiamo sempre utilizzato questa:

\int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jwt}dt

Poi per quanto riguarda l'esercizio ho diviso il segnale in due parti e sfruttato la proprietà della derivata della trasformata per -t[u(t+\pi)-u(t)] e la definizione di trasformata ordinaria per pi[u(t)-u(t-\pi)] quindi :

x=-j(-jt)[u(t+ \pi)-u(t)]+ \pi[u(t)-u(t-\pi)]->

X(w)=-j \frac{d}{dw}F[u(t+\pi)-u(t)]+\pi F[u(t)-u(t-\pi)] = \frac{e^{jw \pi}}{w^2}-\frac{1}{w^2}-\frac{\pi j}{w}
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