ElectroYou

Buongiorno,
sto cercando di svolgere la seguente traccia:
Studiare la funzione
$f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}+4x}{1+x^{3}}$
Tracciandone il grafico approssimato
Nota: si può studiare anche senza conoscere il segno della derivata prima, ma usando quello della derivata seconda

Ho provveduto a calcolare la derivata prima ottenendo
$f'(x)=\frac{-3x^{4}-8x^{3}+3x^{2}+6x+4}{(1+x^{3})^{2}}$

Come indicato nella traccia viene consigliato di usare il segno della derivata seconda per lo studio della funzione.
Calcolando la derivata seconda viene fuori questo:

: derivata seconda.jpg (6.55 KiB) Osservato 30112 volte

L'impressione è che anziché semplificare, la derivata seconda complichi le cose e non riesco quindi a procedere con lo studio della concavità e convessità della funzione.

Ho commesso qualche errore?
Se no, siccome devo svolgere altri esercizi simili, volevo chiedervi qual è la logica con cui procedere con lo studio di funzioni in situazioni come questa. C'è un modo per semplificare la derivata seconda e renderla utilizzabile?

Per favore usa LaTeX per scrivere le formule (come da regolamento del forum), non fare copia-e-incolla da Wolfram Alpha.

Qui c'è una piattaforma che ti aiuta: https://www.codecogs.com/eqnedit.php

Boiler

Sì ho notato solo dopo il tag "Tex". Comunque ho fatto lo screenshot dopo aver scritto la formula usando il sistema di formule di word. Provvedo a correggere

Non riesco più a modificare il post. La derivata seconda scritta in Latex è
$f''(x)=\frac{6(x^{6}+4x^{5}-2x^{4}-7x^{3}-8x^{2}+x+1)}{(1+x^{3})^{3}}$

Forse serve cercare i max, min solo attorno a 1 (max) e a -2 (min)

$f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}+4x}{1+x^{3}}$

invece di impazzire di calcoli...

$f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}+4x+1-1}{1+x^{3}}$

$f(x)=1+\frac{3x^{2}+4x-1}{1+x^{3}}$

definisco

$g(x)=3x^{2}+4x-1$ e h(x)=1+x^3

per cui $f(x)=1+\frac{g(x)}{h(x)}$

$\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=(g^\prime h-gh^\prime)/g^2$

$\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=0 \Leftrightarrow g^\prime h=gh^\prime$

PietroBaima ha scritto:
$f(x)=\frac{x^{3}+3x^{2}+4x+1-1}{1+x^{3}}$

$f(x)=1+\frac{3x^{2}+4x-1}{1+x^{3}}$

Scusa PietroBaima, magari mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma sei sicuro di poter portare quell'1 davanti alla frazione senza denominatore?

Mi permetto di rispondere io. Quell'1 in realtà sarebbe
$\frac{1+x^{3}}{1+x^{3}}=1$

Infatti mi ero perso in un bicchiere d'acqua, non avevo mica visto che era sparito X^3....

Pensassi 6 volte prima di scrivere...

ElectroYou

Studio di funzione usando segno derivata seconda

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