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Ianero ha scritto:L'ultimo passaggio di Pietro ancora non l'ho capito purtroppo. Scambiare i due indici non corrisponde a una trasposizione? (anziché un'inversione di matrice?)

Si, per le matrici, ma le matrici sono una rappresentazione di un tensore di ordine 2 non la rappresentazione di tutti i tensori, quindi non tutti i tensori sono matrici e non tutte le matrici sono tensori, nemmeno quelle quadrate di ordine 2.
I tensori sono tali se si trasformano con le leggi di trasformazione dei tensori, altrimenti sono solo delle matrici ma non dei tensori.

Vediamo due esempi.

1) Esprimiamo il vettore v in due basi $\vec{e_\mu} = \frac{\partial}{\partial x^\mu}$ ed $\vec{e_\nu} = \frac{\partial}{\partial x^\nu}$ :
$\vec{v} = v^{\mu} \vec{e_{\mu}} = v^{\nu} \vec{e_{\nu}}$
$\vec{v} = v^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^\mu} = v^{\nu} \frac{\partial}{\partial x^\nu}$

La trasformazione lineare ( matrice ) che trasforma la base $\vec{e_\nu}$ nella base $\vec{e_\mu}$ è:
$\vec{e_\mu} = \Lambda^\nu_\mu \vec{e_\nu}$
$\frac{\partial}{\partial x^\mu} = \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\nu}$

$\Lambda^\nu_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu}$

2) Esprimiamo la forma $\omega$ in due basi $\tilde{e^\mu} = dx^\mu$ ed $\tilde{e^\nu} = dx^\nu$ :
$\tilde{\omega} = \omega_{\mu} \tilde{e^{\mu}} = \omega_{\nu} \tilde{e^{\nu}}$
$\tilde{\omega} = \omega_{\mu} dx^\mu = \omega_{\nu} dx^\nu$

La trasformazione lineare ( matrice ) che trasforma la base $\tilde{e^\nu}$ nella base $\tilde{e^\mu}$ è:
$\tilde{e^\mu} = \Lambda^\mu_\nu \tilde{e^\nu}$
$dx^\mu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu} dx^\nu$

$\Lambda^\mu_\nu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}$

Gli oggetti covarianti come $\vec{e_\nu}$ ed $\omega_{\nu}$ trasformano secondo la legge $\Lambda^\nu_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu}$
Gli oggetti controvarianti come $\tilde{e^\nu}$ e $v^{\nu}$ trasformano secondo la legge $\Lambda^\mu_\nu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}$ ( che non è nient'altro che lo Jacobiano )

Le due matrici $\Lambda^\nu_\mu$ e $\Lambda^\mu_\nu$ hanno gli indici scambiati e la loro rappresentazione tensoriale è chiaramente l'una l'inversa dell'altra:
$\Lambda^\mu_\nu = \frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu} = ( \frac{\partial x^\nu}{\partial x^\mu} )^{-1} = ( \Lambda^\nu_\mu )^{-1}$

Quindi per scambiare tra loro due indici di un tensore, non basta la trasposta, deve essere l'inversa.
Nel caso delle matrici ortogonali dove A^T A = I

l'inversa e la trasposta coincidono, ma non vale in generale.

IlGuru ha scritto: $\vec{v} = v^{\mu} \vec{e_{\mu}} = v^{\nu} \vec{e_{\nu}}$

~~Non è una somma?~~ Chiaro

EcoTan ha scritto:Non è una somma?

Si sono due somme, ma su basi diverse. Avrei dovuto metterci i ' per esprimere le basi diverse ma mi sembrava più pesante da leggere. Fai conto che $\mu$ vale [ x, y, z, ecc... ] mentre $\nu$ vale [ $\rho , \theta, \phi$ ecc... ]
Se vuoi riscrivo tutto

no come non detto

Ok IlGuru, grazie mille.
Mi sta sfuggendo però a questo punto come si scrive la matrice trasposta in notazione tensoriale...

Per esempio, il campo fondamentale g ha due indici entrambi in basso ed è simmetrico. Possiamo dire che in generale scambiando due indici dallo stesso lato non si inverte la matrice ma si traspone?

EcoTan ha scritto:Per esempio, il campo fondamentale g ha due indici entrambi in basso ed è simmetrico. Possiamo dire che in generale scambiando due indici dallo stesso lato non si inverte la matrice ma si traspone?

Fate domande difficili

Direi di si, se il g di cui parli è il tensore metrico, le sue componenti sono i prodotti scalari dei vettori ( o covettori ) di base e per la commutatività del prodotto scalare è ininfluente scambiare l'ordine dei due indici.

EcoTan ha scritto:Ho letto (Finzi) che in un riferimento piano con assi obliqui, proiettando un punto su ogni asse in modo normale all'asse anzichè parallelo all'altro asse, si ottengono componenti covarianti ma 'sta cosa mi confonde.

OK, verificato. Le componenti covarianti di un vettore (controvariante) si ottengono moltiplicando il vettore per la metrica (covariante) e in assi obliqui risultano pari a quelle che si ottengono proiettando il vettore sugli assi perpendicolarmente all'asse anziché parallelamente all'altro asse. Aggiungerei che il vettore rimane sempre lo stesso, mentre Rovelli fornisce anche una seconda interpretazione in quanto mappatura su uno spazio duale.

E il tensore metrico e' la mappa bilineare tra lo spazio tangente dove vivono i vettori ed il cotangente dove vivono le forme. Poi puoi vedere anche da quale a quale, a seconda se gli indici stanno sopra o sotto.

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