ElectroYou

Per la prima volta sto forse capendo cosa sono questi oggetti che così tante volte ho sentito nominare...
A dire il vero ora sto iniziando a collegare un bel po' di cose che tenenvo in testa scollegate, in particolare una visione unificata di matrici, vettori, operatori lineari e spazi duali.
Ma veniamo alla domanda...

Facciamo che ho uno spazio vettoriale

di cui identifico una base $\{e_1,...,e_n\}$ . Ho poi un tensore di tipo (1,1) che identifico con l'insieme di numeri ${A^\nu}_{\mu}$ .
Mi pongo questa domanda: se volessi cambiare base, passando a $\{e'_1,...,e'_n\}$ , l'operatore bilineare (il tensore) che prima mappava $(e_\nu,v^\mu)$ nel numero reale ${A^\nu}_{\mu}$ , ora che espressione assume quando espresso nella nuova base con gli apici? (ovvero, come si scrivono gli ${A'^{\alpha}}_{\beta}$ in funzione dei noti ${A^\nu}_{\mu}$ ?)

Quello che sappiamo a priori è che esiste una matrice di cambio di base, che scrivo come tensore, che produce:
$e'_j={\Lambda^i}_j e_i \quad\quad (1)$
e di conseguenza vale, per le coordinate dei vettori:
$v'^j={\Gamma^j}_i v^i \quad\quad (2)$

dove la matrice $\Gamma$ è la trasposta inversa di $\Lambda$ .
A questo punto ho provato a scrivere, per arrivare a quello che voglio ottenere, quanto segue ( $v\in V$ , $\omega \in V^*$ ):

${A'^{\alpha}}_{\beta}v'^\beta\omega'_\alpha = {A'^{\alpha}}_{\beta}{\Gamma^\beta}_\mu v^\mu {\Lambda^\nu}_\alpha\omega_\nu$

da cui deduco:

${A^{\nu}}_{\mu} = {A'^{\alpha}}_{\beta}{\Gamma^\beta}_\mu {\Lambda^\nu}_\alpha$

che però non è quello che volevo: io volevo ${A'^{\alpha}}_{\beta}$ a sinistra, da solo, e poi ${A^{\nu}}_{\mu}$ a destra insieme al resto della schifezza.
Per ottenere quello che voglio mi verrebbe da dire che devo preventivamente invertire le (1) e (2), e poi fare quello che ho appena fatto qui sopra, partendo però da ${A^{\nu}}_{\mu} v^\mu\omega_\nu$ (cioè della base senza apici, anziché il contrario).

Mi sembra un po' troppo involuto... E' giusto quello che ho detto o esiste un modo più semplice e immediato di ricavare la legge di trasformazione dei tensori?

E bravo

Ianero, stai capendo, anche se hai ancora qualche lacunetta.

La legge di trasformazione per un tensore di tipo (1,1) può essere dedotta proprio come stavi facendo, ma ti propongo un trucchetto per ottenere ${A'^\alpha}_\beta$ in funzione di $({A^\nu}_\mu)$ e dei cambiamenti di base.

Quando cambi base, i componenti di un tensore di tipo (1,1) si trasformano secondo una legge specifica. Per un tensore (1,1) come A, che mappa $(e_\nu, v^\mu)$ in un numero reale $({A^\nu}_\mu)$ , la trasformazione è data da:

${A'^\alpha}_\beta = {\Lambda^\alpha}_\nu {A^\nu}_\mu {\Gamma^\mu}_\beta$
dove:
- $\Lambda$ è la matrice di cambio di base per il vettore nella nuova base, cioè $(e'_j = {\Lambda^i}_j e_i)$ .
- $\Gamma$ è la matrice di cambio per i componenti covarianti, cioè la trasposta inversa di $\Lambda$ , che agisce come $\omega'_\alpha = {\Lambda^\nu}_\alpha \omega_\nu$ .

Il trucco sta nel ricordare come si trasformano i vettori e le forme duali:
1. Per i componenti di un vettore contravariante $v^\mu$ , abbiamo $v'^\beta = {\Gamma^\beta}_\mu v^\mu$ .
2. Per le componenti covarianti di una forma $\omega_\alpha$ , abbiamo $\omega'_\alpha = {\Lambda^\nu}_\alpha \omega_\nu$ .

Quindi, prendendo il prodotto bilineare:

$A(v, \omega) = {A^\nu}_\mu v^\mu \omega_\nu = {A'^\alpha}_\beta v'^\beta \omega'_\alpha$

Espandiamo $v'^\beta$ e $\omega'_\alpha$ usando le matrici di trasformazione:

${A^{\prime \alpha}}_\beta {\Gamma^ \beta}_\mu v^\mu {\Lambda^\nu}_\alpha \omega_\nu = {A^\nu}_\mu v^\mu \omega_\nu$

Ora confrontando i termini, otteniamo la relazione desiderata:

${A'^\alpha}_\beta = {\Lambda^\alpha}_\nu {A^\nu}_\mu {\Gamma^\mu}_\beta$

Questo approccio ti permette di derivare la trasformazione senza invertire passaggi. In pratica, la legge di trasformazione per ${A^\nu}_\mu$ segue dal fatto che i componenti contravarianti e covarianti cambiano secondo le loro rispettive matrici di trasformazione.

Fammi sapere se questo ti è stato d'aiuto.

Fino al tuo penultimo passaggio è esattamente quello che ho fatto io, o sbaglio?

Non capisco come fai a fare la deduzione finale, quando dici:

PietroBaima ha scritto: ${A^{\prime \alpha}}_\beta {\Gamma^ \beta}_\mu v^\mu {\Lambda^\nu}_\alpha \omega_\nu = {A^\nu}_\mu v^\mu \omega_\nu$

Ora confrontando i termini, otteniamo la relazione desiderata:

${A'^\alpha}_\beta = {\Lambda^\alpha}_\nu {A^\nu}_\mu {\Gamma^\mu}_\beta$

Io da qui avrei solo dedotto che:

${A^{\prime \alpha}}_\beta {\Gamma^ \beta}_\mu {\Lambda^\nu}_\alpha = {A^\nu}_\mu$ .

In qualche modo hai dato per automatico che le matrici inverse di $\Gamma$ e $\Lambda$ si ottengono scambiando i due indici sia come "destra" e "sinistra" sia il loro "sopra" e "sotto", ma non ho capito perché.

Aggiungo un errore di cui mi sono accorto (sempre se sto capendo...):

ianero ha scritto:l'operatore bilineare (il tensore) che prima mappava $(e_\nu,v^\mu)$ nel numero reale ${A^\nu}_{\mu}$

In realtà, ${A^\nu}_{\mu}$ sarebbe $A({e^*}^\nu,e_\mu)$ .
Giusto?

Ianero ha scritto:In realtà, ${A^\nu}_{\mu}$ sarebbe $A({e^*}^\nu,e_\mu)$ .
Giusto?

Esatto. I tensori sono gli "assoluti", che rappresentano qualcosa in sè che resta tale da qualunque parte lo guardi e che si trasformano secondo leggi specifiche.
Proiettando questo oggetto su una base, covariante o controvariante, ottieni le componenti covarianti o controvarianti in quella base li, che è solo una delle infinite basi possibili.
Prendi un certo vettore $\vec{v}$ questo oggetto esiste di per sè anche se non c'è nessun essere umano che ha bisogno di coordinate per fare dei ragionamenti.
Le componenti controvarianti di questo vettore le ottieni proiettando il vettore su una base controvariante $\mu$ così:
$v^{\mu} = \vec{v} e^{\mu}$

Se ricordi che per definizione il prodotto di una base per la sua duale è l'identità puoi scomporre qualunque tensore in termini di componenti e basi:
$\vec{v}=\vec{v} I = \vec{v} e^{\mu} e_{\mu} = v^{\mu} e_{\mu}$

Grazie.
L'ultimo passaggio di Pietro ancora non l'ho capito purtroppo. Scambiare i due indici non corrisponde a una trasposizione? (anziché un'inversione di matrice?)

Ianero ha scritto:Scambiare i due indici non corrisponde a una trasposizione? (anziché un'inversione di matrice?)

E se questo che dici fosse vero per due indici controvarianti? Anche in algebra elementare, scambiando gli elementi di un prodotto cambia la forma, ma scambiando gli elementi di una frazione cambia la sostanza. Una matrice, alla sua origine, sarà pure stata definita in qualche modo.

Ho letto (Finzi) che in un riferimento piano con assi obliqui, proiettando un punto su ogni asse in modo normale all'asse anzichè parallelo all'altro asse, si ottengono componenti covarianti ma 'sta cosa mi confonde.

Non lo so EcoTan

Ma non è che è solo una cosa di notazione?
Nel senso che l'inversa di ${\Gamma^\beta}_\mu$ si indica col simbolo ${\Gamma^\mu}_\beta$ e fine della storia? Non c'è niente sotto più di questo?

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