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Ciao. Ho una piccola confusione in testa.

Data la trasformata di Laplace di una funzione f(t)

, sappiamo che verrà trasformata in L(s)

con variabile

che contiene a sua volta una parte reale e una immaginaria. Quindi dominio di due variabili.

Data la trasformata di Fourier della stessa funzione f(t)

, sappiamo che verrà trasformata in $F(\omega )$ con la variabile omega pulsazione e quindi dominio di una sola variabile.
$F(\omega )$ sarà una funzione che ha come ordinata omega e come ascissa il modulo di ciascuna armonica che compone la f(t) iniziale.

Si dice che $\mathit{F}\left\{ f(t)\right\}=\mathit{L}\left\{ f(t)\right\}|_{s=j\omega }$

e idem anche quando si introducono i diagrammi di Bode, che i diagrammi di Bode non sono altro che la trasformata di Fourier del segnale f(t), ma come mai per i diagrammi di Bode si hanno due informazioni, ovvero modulo e fase, mentre per la trasformata di Fourier, solo una (ovvero il solo modulo?). Grazie.

Data la trasformata di Fourier della stessa funzione f(t),.......
F(\omega ) sarà una funzione che ha come ordinata omega e come ascissa il modulo di ciascuna armonica che compone la f(t) iniziale.

Direi che la omega è in ascissa (asse orizzontale) e la trasformata in ordinata (direi asse verticale).

Se ben ricordo, in ordinata per ogni armonica non c'è solo il modulo, ma un valore complesso (in modulo e fase e parte reale e parte immaginaria). Se non fosse così antitrasformando non si tornerebbe indietro alla funzione del tempo.

Se ho scritto qualcosa di sbagliato, attendo di venire corretto. :-)

E poi, che c'è di male se F è funzione complessa della variabile omega reale? Il simbolo immaginario può essere introdotto nei parametri che definiscono la funzione, per esempio nelle reattanze o nella definizione della trasformata.
Non direi che i diagrammi di Bode siano lo spettro del segnale, di solito si riferiscono a un quadripolo non a un segnale. Se poi il segnale (in ingresso) è un impulso magari diventa la stessa cosa.

Marco dice bene.
Il termine non oscillatorio della trasformata di Laplace è un termine che tiene conto delle situazioni transitorie dei sistemi fisici non a regime (non per forza soltanto elettrici), mentre il termine in omega tiene conto delle condizioni a regime per una determinata frequenza.

In un sistema elettrico, per esempio, costituito da un induttore con in serie un resistore, alimentato da una sorgente puramente sinusoidale, la trasformata di Fourier terrà conto soltanto della situazione a regime, cioè della situazione che ha raggiunto il circuito estinto ogni transitorio.

Facendo invece la trasformata di Laplace si terrà conto anche della situazione transitoria, cioè dell’andamento della funzione nel tempo subito dopo che il generatore viene collegato alla induttanza e alla resistenza, fino a raggiungere la condizione di regime.

Attenzione che la frase “per passare dalla trasformata di Laplace a quella di Fourier basta sostituire s con $j\omega$ ” è sbagliata.

La trasformata di Laplace F(s) è definita come $F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$ , dove $s = \sigma + j\omega$ è un numero complesso con una parte reale $\sigma$ e una parte immaginaria $\omega$ . La parte reale $\sigma$ determina il dominio di convergenza dell’integrale, cioè i valori per cui l’integrale converge. La trasformata di Fourier $F(j\omega)$ invece è definita come $F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$ , e non include una parte reale $\sigma$ , il che significa che l’integrale deve convergere senza un fattore esponenziale di smorzamento. Questo implica che non tutti i segnali che hanno una trasformata di Laplace hanno anche una trasformata di Fourier. La trasformata di Laplace è tipicamente definita per segnali causali, cioè per f(t) = 0 quando t < 0, mentre la trasformata di Fourier è definita per segnali che possono essere sia causali sia non causali, purché siano assolutamente integrabili, cioè tali che $\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| dt < \infty$ . Se il segnale non soddisfa questa condizione, come ad esempio un segnale con un’esponenziale crescente, la trasformata di Fourier non esiste, mentre quella di Laplace potrebbe ancora esistere grazie alla presenza della parte reale $\sigma > 0$ . Quando si sostituisce $s = j\omega$ , si assume implicitamente che il dominio di convergenza della trasformata di Laplace includa l’asse immaginario, cioè $\sigma = 0$ , ma per molti segnali l’asse immaginario non rientra nel dominio di convergenza della trasformata di Laplace, e in questi casi non è possibile calcolare la trasformata di Fourier usando questa sostituzione. La sostituzione $s = j\omega$ è valida solo se il segnale è assolutamente integrabile o se il dominio di convergenza della trasformata di Laplace include l’asse immaginario, e quindi questa operazione non può essere generalizzata. La trasformata di Laplace è infatti una generalizzazione di quella di Fourier, ma non tutti i segnali che ammettono la prima ammettono anche la seconda, per cui la semplice sostituzione $s = j\omega$ non è sempre valida.

PietroBaima ha scritto:La trasformata di Laplace è infatti una generalizzazione di quella di Fourier,

Proprio qualche giorno fa c'è stata una domanda sul tema ed ho ripescato dalla memoria quanto appreso tanti anni fa.
Potrebbe essere più aderente una visione come la seguente?
Entrambe le trasformate sono una specializzazione di un'unica operazione concettuale di trasformazione integrale, nessuna delle due è estensione o generalizzazione dell'altra:

$T\{g(t)\}(u)=\int_{-\infty}^{\infty}K(u,t)g(t)dt = G(u)$

dove K(u,t) è il kernel della trasformazione definito come
$K(u,t) = \left\{ \begin{array}{cl} e^{-ut} & : \ t \geq 0 \\ 0 & : \ t < 0 \end{array} \right.$
con $u \in \mathbb{C}$
per la trasformata di Laplace (unilatera);
mentre per la trasformata di Fourier
$K(u,t) = e^{-ut}$
con
$u=j \omega = j 2 \pi f$
$\omega , f \in \mathbb{R}$

Chiaramente cambiando il kernel cambiano le condizioni di esistenza.

Correttissimo.

Così arriviamo al concetto di nucleo della trasformata, di cui parlava anche

IsidoroKZ qui.

Se generalizziamo ancora arriviamo a parlare di operatori Hilbertiani :mrgreen:

Per l’OP: se hai dubbi chiedi.

MarcoD ha scritto:
Data la trasformata di Fourier della stessa funzione f(t),.......
F(\omega ) sarà una funzione che ha come ordinata omega e come ascissa il modulo di ciascuna armonica che compone la f(t) iniziale.

Direi che la omega è in ascissa (asse orizzontale) e la trasformata in ordinata (direi asse verticale).

Se ben ricordo, in ordinata per ogni armonica non c'è solo il modulo, ma un valore complesso (in modulo e fase e parte reale e parte immaginaria). Se non fosse così antitrasformando non si tornerebbe indietro alla funzione del tempo.

Se ho scritto qualcosa di sbagliato, attendo di venire corretto.

grazie mille a te e tutti gli altri.
Rimango ancora nel dubbio. Se svolgo matematicamente una trasformata di Fourier, tu dici che in ordinata trovi un numero complesso; un numero complesso ha due informazioni (parte reale e immaginaria). Se $F(\omega )$ è in funzione di omega soltanto, dove si trova la parte immaginaria mancante? inoltre una trasformata di Fourier la si disegna su un piano, non nello spazio. Grazie ancora.

La trasformata di Fourier è un'operazione che ti fa passare da un numero reale ad un numero complesso.
Rappresenti il modulo e la fase in due diagrammi differenti.
Per lo più ci si concentra sul modulo.
Esamina ad es. la trasformata di un seno e di un coseno, hanno stesso modulo ma fasi differenti.
Ricorda che gli impulsi matematici hanno ampiezza infinita ed area finita, quindi disegnarli con altezze diverse non ha senso se non stabilisci delle regole. Conn tali regole a volte in un unico grafico rappresenti modulo e fase

Ciao. Se vi interessa, qui c'è un interessante esempio che mostra come da una variabile di ingresso della trasformata di Fourier, si hanno due uscite (una reale e l'altra complessa).

https://youtu.be/n2y7n6jw5d0?t=192

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Chiarimento su Fourier

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