ElectroYou

Curiosità così al volo, ammetto di non averci pensato troppo.
Spesso ho sentito dire che la dimensione del punto è zero, ma non sarebbe più corretto dire che la dimensione del punto è un infinitesimo?

Come per tutto, il punto a dimensione zero è una convenzione, ne più né meno

K

IlGuru ha scritto:...non sarebbe più corretto dire che la dimensione del punto è un infinitesimo?

Credo di no.
Come il piano che ha due dimensioni, nello spazio tridimensionale ha altezza (spessore) 0;
la retta ha una dimensione (e quindi nello spazio ha larghezza e altezza 0);
così il punto, che ha zero dimensioni, nello spazio tridimensionale ha lunghezza, larghezza e altezza 0.

Credo che dire che ha dimensioni infinitesime risponde al nostro bisogno di immaginarlo come qualcosa di infinitamente piccolo ma associato a qualcosa di materiale.
In questo senso mi ricorda il "punto materiale" della fisica, che non ha volume ma ha massa, carica elettrica ecc., ed è soggetto a forze. Tendiamo a immaginarlo come qualcosa di molto piccolo, sapendo che il considerarlo "punto materiale" è un artificio matematico per non doverlo considerare un corpo esteso (come è in realtà), perché complicherebbe i calcoli.

Tuttavia essendo il punto un concetto geometrico, non esiste nella realtà fisica e le sue dimensioni sono 0 per definizione.

Credo che considerarlo di dimensioni infinitesime complicherebbe inutilmente il concetto e potrebbe portare a contraddizioni.

Ricordo che gli infiniti punti di un segmento possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli infiniti punti di una semiretta, e ciò significa che ci sono tanti punti nel segmento quanti ce ne sono nella semiretta:

Ad ogni punto sul segmento AO corrisponde uno e un solo punto sulla semiretta s.
Dimostrazione:
dal punto B (fisso, alla stessa distanza di A dalla semiretta o dal suo prolungamento) tracciamo una semiretta t passante per un punto C qualunque del segmento AO.
La semiretta t incrocerà la semiretta s in un punto D.
Ciò vale per tutti i punti del segmento e tutti i punti della semiretta, che vengono così messi in corrispondenza biunivoca. Quindi ci sono tanti punti nella semiretta quanti ce ne sono nel segmento.
Nota: il punto A corrisponde al punto all'infinito della semiretta s.

Se gli infiniti punti del segmento avessero dimensioni infinitesime, la somma (l'integrale) delle loro lunghezze infinitesime darebbe la lunghezza del segmento (finita), ma anche la lunghezza della semiretta (infinita), mettendo la geometria in imbarazzo...

Credo che quando si dice che un punto ha dimensione zero, si voglia dire che non ha dimensioni, non che il suo "diametro" sia zero. Cosi` come la retta ha una dimensione, il piano due...

Dimensione del punto e` zero non e` la sua estensione, ma la sia dimensionalita`.

Aggiungo solo una cosa a quanto giustamente detto da ISIKZ: non puoi considerare qualcosa come un infinitesimo senza che questo sia inserito in una metrica. Per cui, in questo contesto, un punto ha dimensione zero perché dobbiamo considerare il limite.

Sono passati quaranta anni da quando ho studiato Analisi Matematica, questa disciplina nel frattempo ha fatto diversi passi in avanti

Tuttavia, ai tempi si diceva che la dimensione del punto era trascurabile

Sono passati quaranta anni anche per me: a differenza che in fisica in geometria analitica non ho mai sentito parlare di "trascurabile".
Il punto in uno spazio tridimensionale era una terna (x,y,z) quindi fra le sue proprietà non c'era una sua dimensione (misurata dove? fra punti del punto?)

Salve a tutti.

Anche a me questa questione delle dimensioni del punto mi ha sempre lasciato perplesso.

Se considero un segmento lungo 1 metro ed uno lungo 1 km, per il primo devo considerare che un punto per infinito faccia 1 metro e nel secondo un punto per infinito fa 1 km.

Mi sembra qualcosa senza senso.

Se moltiplichi zero per qualsiasi cifra dovrebbe risultare sempre zero.

Mi sembra più logico che si possa dire che un punto che si sposta nello spazio in modo rettilineo ed uniforme ad una certa velocità e per un certo tempo percorre una distanza di 1 metro oppure (variando velocità e/o tempo) 1 km.

Saluti a tutti da Alberto

IlGuru ha scritto:Spesso ho sentito dire che la dimensione del punto è zero, ma non sarebbe più corretto dire che la dimensione del punto è un infinitesimo?

Allora... il punto NON ha dimensioni... un solido nel ha 3 nello spazio, un piano ne ha due, una retta ne ha una.... invece il PUNTO non ha dimensioni.
Qua ho parlato di DIMENSIONI non intese come la grandezza,,,, che ne so... la dimensione di un mattone, ma come dimensoni cartesiane.
Come tale, non avendo dimensioni, non ha misura.
Semplice, no?

AlberManR ha scritto:Se considero un segmento lungo 1 metro ed uno lungo 1 km, per il primo devo considerare che un punto per infinito faccia 1 metro e nel secondo un punto per infinito fa 1 km.

perché confondi le operazioni finite con quelle al limite.
Infinito è infinito... non c'è un infinito più grande o più piccolo di un altro.

Comunque il punto e l'infinito, che sono due estremi opposti se vogliamo dire... sono concetti, sono definizioni, quindi vanno prese un po' come sono.

Ciao


Il punto, per definizione, non ha dimensione geometrica.

Le definizioni non discendono da teoremi e quindi non hanno bisogno di essere dimostrate.