ElectroYou

Provo a ripetere qualche argomento di algebra lineare ma mi impappino sui termini.
Dunque le coordinate di un vettore su una base sono i parametri per cui dobbiamo moltiplicare i vettori che costituiscono la base per ottenere come somma il vettore stesso cioè le sue coord.. ehm, no, per coordinate intendiamo quei parametri, ma allora il vettore da che numeri è costituito, dobbiamo inventare un nuovo termine, magari coordinate canoniche dello spazio?

Non mi sono impegnato molto, ho solo cercato con un motore di ricerca: "coordinate di un vettore"

"Le coordinate di un vettore rispetto a una base sono gli scalari che permettono di esprimere il vettore come combinazione lineare dei vettori della base."

Dunque possiamo distinguere fra "coordinate di un vettore rispetto a una base" e "coordinate di un vettore"?
Posso vagamente capire che la base rimanga imprecisata e tutta la teoria funzioni in senso circolare, credo che la mia difficoltà sia soltanto nei termini.

Dunque possiamo distinguere fra "coordinate di un vettore rispetto a una base" e "coordinate di un vettore"?

Secondo me , no.

Le coordinate di un vettore sono sempre relative a una base che alle volte è sottintesa.
Le più diffuse coordinate polari o cartesiane.

Salvo che tu non ti riferisca a un vettore, ma solo a uno scalare o che la direzione sia implicita.
Se dici un peso (orrore..forza) di 1 kg, ti riferisci a una forza verso il basso...

Se dici una forza di 1 N, senza specificare la direzione definisci solo l'intensità e non la direzione.

Se dici " rotta 50 gradi " sono orari o antiorari, riferiti al Sud al Nord o alla direzione della Mecca. Di solito è sottinteso che ti riferisci ai gradi della bussola, che di solito sono orari riferiti al Nord.

Però non sono un fisico senior, e non vorrei venir criticato per aver scritto troppe inesattezze...

Il passaggio a coordinate polari, sempre parlando di algebra lineare, si fa qualche volta per evidenziare l'effetto di una matrice di rotazione o di riflessione. Non è che esiste una matrice di cambiamento di base da cartesiane a polari. In effetti lo spazio vettoriale è prodotto cartesiano di rette.

P.S. Anche se non esiste una matrice di cambiamento di base da cartesiane a polari, nulla vieta di prendere la matrice jacobiana delle rispettive derivate parziali nell'intorno di un punto. Mi viene da chiedermi se essa sia diagonalizzabile e che significato potrebbero avere gli autovettori.

Le coordinate di un vettore è un'espressione un po' infelice, perché mischia due concetti diversi.
Un vettore è un oggetto, ben individuato, di un certo spazio vettoriale, fine (nessun concetto di coordinata, nessuna n-upla di numeri obbligatoria).
In tale spazio vettoriale, se hai individuato una base, puoi esprimere il vettore precedente come combinazione lineare di vettori della base individuata. I numeri che usi nella combinazione lineare li puoi chiamare coefficienti dello sviluppo del vettore secondo quella base.

Il concetto di coordinate è un'altra cosa: ha a che fare con i concetti di carte e atlanti. Le coordinate sono il nome che dai alle variabili indipendenti del dominio della carta che utilizzi per descrivere un pezzo della varietà che stai analizzando (immagino che tu, nei tuoi esempi, stia pensando a ).

Sì, mi piace.

Menomale