ElectroYou

Salve a tutti. Non so se sto scrivendo nella sezione giusta, ma ho visto che ci sono altri post che riguardano i fondamenti di controlli automatici, quindi ci provo

.
A parte gli scherzi, ho un problemino con una parte del programma di controlli automatici che vorrei chiarire al più presto. In particolare, il capitolo riguarda i metodi grafici per il calcolo di funzioni relative a sistemi a controreazione e quindi la carta di Hall e quella di Nichols.
Per tracciare la carta di Hall, si considerano i luoghi a modulo e a fase costante sul piano di Nyquist della F(jw), che sarebbe la funzione di trasferimento a catena aperta. A partire dal sistema a controreazione a catena chiusa tipico, possiamo ottenere un sistema analogo ma con f.d.t della controreazione unitaria e la funzione di trasf. ingresso-uscita rappresentata in questo modo:
$W(j\omega)=\frac{1}{H(j\omega)} \cdot \frac {F(j\omega)}{1+F(j\omega)}$ dove consideriamo il secondo pezzo come una nuova fdt $W_{1}(j\omega)$ . Adesso, esprimendo la F(jw) in forma cartesiana complessa R + jI. la nuova fdt diviene $W_{1}(j\omega)=\frac{R+jI}{1+R+jI}$ . Di questa ne consideriamo il modulo al quadrato per eliminare la radice quadrate e poi anche la fase, che sarebbero:
$M^2=\frac{R^2+I^2}{(1+R)^2 + I^2}$ e $\alpha=\arctan(\frac{I}{R}) - \arctan(\frac{I}{1+R})$ . A quesnto punto, partendo da questa equazione sia rriva ad una nuova espressione che raprresenta l'eq di una circonferenza dipendente da M e nel secondo caso da $N=\tan \alpha$ . Le espressioni sono :
1) quella relativa al modulo $(R + \frac{M^2}{M^2 -1})^2 + I^2 = ( \frac{M}{(M^2 - 1)^2}$
2) quella relativa alla fase $(R+ 1/2)^2 + ( I - \frac{1}{2N}) = 1/4 \cdot \frac{N^2+1}{N^2}$

Come fanno a pervenire a queste formule? Ho provato diversi passaggi, ma non arrivo alla loro stessa formula. Inoltre nella prima relazione, quella del modulo, essendo una famiglia di circonferenze simmetiche rispetto alla retta passante per -1/2 che corrisponde a M=1, non dovrebbe essere M^2 +1

il denominatore della coordinata reale del centro? Altrimenti per M=1 non viene -1/2, ma infinito.
Nel caso della fase, poi, dicono che le circonferenze passano tutte per i punti (-1,j0) e per l'origine e hanno tutte centro sulla retta di equazione R=-1/2. Come faccio a trovarlo? Purtroppo ho dimenticato la parte di matematica che riguarda i fasci di circonferenze e tutto il resto.

Grazie in anticipo per l'aiuto. O_/

Per il modulo,

$M^2=\frac{R^2+I^2}{(1+R)^2 + I^2}$

Sviluppando il denominatore e portanto al primo membro si ha

M^2(1+R^2+2R+I^2)=R^2+I^2

da cui, raccogliendo i termini in R e in I,

(M^2-1)R^2+2M^2R +(M^2-1)I^2 = -M^2

Dividendo tutto per M^2-1

, si ha

$R^2+2\frac{M^2}{M^2-1}R+I^2 = -\frac{M^2}{M^2-1}$

e completando il quadrato in R

$R^2+2\frac{M^2}{M^2-1}R+\left(\frac{M^2}{M^2-1}\right)^2-\left(\frac{M^2}{M^2-1}\right)^2+I^2 = -\frac{M^2}{M^2-1}$

Ora i primi tre termini nell'equazione sopra formano un quadrato perfetto che permette di scrivere

$\left(R+\frac{M^2}{M^2-1}\right)^2+I^2 = \left(\frac{M^2}{M^2-1}\right)^2-\frac{M^2}{M^2-1}$

da cui

$\left(R+\frac{M^2}{M^2-1}\right)^2+I^2 = \frac{M^4-M^2(M^2-1)}{(M^2-1)^2}$

e, infine,

$\left(R+\frac{M^2}{M^2-1}\right)^2+I^2 = \frac{M^2}{(M^2-1)^2}\qquad\qquad (1)$

Per ciò che riguarda la simmetria, considera la sostituzione $M\leftrightarrow 1/M$ : con facili passaggi si ottiene

$\left(R-\frac{1}{M^2-1}\right)^2+I^2 = \frac{M^2}{(M^2-1)^2}$

Il cerchio che si ottiene ha lo stesso raggio del cerchio in (1), ma il centro è posto simmetricamente al centro di (1) rispetto alla retta R = -1/2

. Il primo centro, infatti, ha ascissa

$R_1 = -\frac{M^2}{M^2-1}$

mentre il secondo ha ascissa

$R_1 = \frac{1}{M^2-1}$

Il punto medio tra i due centri ha allora ascissa

$R_\text{c} = \frac{R_1+R_2}{2} = \frac{1-M^2}{2(M^2-1)} = -\frac{1}{2}$

Ti ringrazio mille per la risposta, anche se già la materia l'ho data e anche con 30

, però mi è servita per chiarirmi questa curiosità :ok:

ElectroYou

Carta di Hall

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Re: Carta di Hall

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