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Avrei dei problemi a risolvere gli esercizi sull'osservabilità e la rilevabilità. Allora partendo dalla raggiungibilità, se il sistema è raggiungibile la matrice

di raggiungibilità ha rango pieno, se questo non accade il sistema può essere decomposto in un sottoinsieme raggiungibile e in uno non raggiungibile attraverso la decomposizione di Kalman e se gli autovalori associati alla parte non raggiungibile hanno tutti parte reale strettamente minore di 0 il sistema è stabilizzabile e per trovare il controllore si può applicare la formula:

u = [kcT^v ...0] x

Tale che

mi renda negativi gli autovalori di (A11+b1kcT^v)

, poi mi calcolo il kcT = [kcT^v... 0] U^-1

dove

è la matrice del cambiamento di coordinate.

Il

che ho messo indica che siamo nelle vecchie coordinate.

Quindi ho trovato il valore di kcT che mi stabilizza il sistema che non era raggiungibile e l'ho stabilizzato. Invece nel caso il sistema non sia osservabile come faccio a vedere se è rilevabile ed eventualmente quindi trovare il controllore che me lo rende rilevabile?

Ad esempio consideriamo il seguente sistema nello spazio di stato:

$x^" = \begin{bmatrix} 0& 1\\ -1& 2 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}u$

Quindi mi calcolo la matrice di raggiungibilità:

$R = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

Vedo che detR = 0

, quindi per vedere se il sistema è stabilizzabile decompongo quindi:

$U = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

Ovvero prende una colonna di

e ne aggiungo un'altra a mio piacere linearmente indipendente, quindi mi calcolo l'inversa U^-1

ed effettuo il cambiamento di coordinate:

$U^-1 = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

$A^n = U^-1AU = \begin{bmatrix} 1 &1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$

$b^n = U^-1b \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$

Quindi A11=1, A12 = 1, A22 = -2, b1 =1

Con

ho indicato le matrici nelle nuove coordinate. Quindi vedo che A22=-2

, quindi essendo gli autovalori associati alla parte del sistema non raggiungibile negativi il sistema è stabilizzabile e vado quindi a calcolarmi il controllore kcT

quindi:

pertanto

Prendo ad esempio kcT^n=-4

Quindi nelle vecchie coordinate:

$kcT = \begin{bmatrix} -4 & 0 \end{bmatrix}U^-1$

E ottengo $kcT = \begin{bmatrix} -4 & 0 \end{bmatrix}$

Ora se il sistema non è osservabile, come faccio a vedere se è rilevabile e a trovare il controllore

, il procedimento dovrebbe essere analogo, ma io non riesco a capirlo, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi?

Nessuno è in grado di aiutarmi? Mercoledì ho l'esame e non riesco a chiarire questo dubbio

Il problema è assolutamente duale.
Siccome è piuttosto lungo come procedimento ti invito a leggere questi esempi :

http://www.dist.unige.it/giglio/didattica/tdsfiles2010/files/tds_20110302.pdf
http://www-lar.deis.unibo.it/people/gpalli/files/CALS-E05-Kalmandecomp.pdf
http://www.consorzionettuno.it/statica/monaco_el_teoria_sistemi/kalman/kalman.htm

La teoria invece è spiegata bene in questi documenti :

http://control.units.it/index.php/lang-en/download?do=view&file=Teoria+dei+Sistemi+e+del+Controllo|Lezioni|Stampabile_TDSC_parte_07.pdf
http://cse.lab.imtlucca.it/~bemporad/teaching/controllodigitale/pdf/06a-osservabilita.pdf

Ok grazie per la risposta avevo già letto questi esempi però non riesco a capire il procedimento da seguire.. Partendo dal procedimento che ho fatto per la raggiungibilità, prima di tutto mi calcolo la matrice di osservabilità, poi mi calcolo il nucleo della matrice di osservabilità che sarà la base del sottospazio non osservabile e completo questa base al numero di colonne di A. A questo punto mi sono trovato U la inverto e applicando le stesse formule per la raggiunibilità mi trovo il cambiamento di coordinate. Adesso però avrei dei dubbi, nella nuova matrice quale termine devo guardare per vedere se il sistema è rilevabile e come mi calcolo il ko che mi rende rilevabile questo sistema?

Le proprieta' del sistema non sono mutabili con il controllo per cui se un sistema non e' raggiungibile o non e' osservabile a nulla serve la retroazione nel tentativo di modificare questa proprieta' che e' intrinseca nel sistema e cosi' permane.

ireon ha scritto: e come mi calcolo il ko che mi rende rilevabile questo sistema?

Quindi questa frase e' priva di senso.

Se riscrivi il sistema in forma canonica per poterne scrutare la proprieta' di osservabilita' attui un cambiamento di base tale da condurre il sistema a variabili di stato in una forma del tipo :

$\left \{ \begin{matrix} \dot{z_{1}} = A_{11} z_{1} + A_{12} z_{1} + B_{1} u \\ \dot{z_{2}} = A_{22} z_{1} + B_{2} u \\ y = C_{2} z_{2} \end{matrix}$
Dove :

$\left \{ \begin{matrix} \dot{z_{2}} = A_{22} z_{1} + B_{2} u \\ y = C_{2} z_{2} \end{matrix} \right.{$

E' il sottosistema osservabile.

Se invece operi la scomposizione di Kalman ottieni un sistema di equazioni scritto in questo modo :

$\left \{ \begin{matrix} \dot{z_{1}} = A_{11} z_{1} + A_{12} z_{2} + A_{13} z_{3} + A_{14} z_{4} B_{1} u \\ \dot{z_{2}} = A_{22} z_{2} + A_{24} z_{4} + B_{2} u \\ \dot{z_{3}} = A_{33} z_{z} + A_{34} z_{4} \\ \dot{z_{4}} = A_{44} z_{4} \\ y = C_{2} z_{2} + C_{4} z_{4} \end{matrix} \right.{$

Dove $( z_{1},z_{2} )$ : Parte completamente controllabile
Dove $( z_{2},z_{4} )$ : Parte completamente osservabile
Dove $z_{2}$ : Parte completamente controllabile ed osservabile
Dove $z_{3}$ : Parte non controllabile e non osservabile.

Confrontando questa struttura con la matrice che devi analizzare individui immediatamente le proprieta' dei sottosistemi.

Però il professore ci ha spiegato che se un sistema è stabilizzabile allora esiste un kcT che stabilizza il sistema e si calcola con la formula che ho scritto sopra. Quindi analogamente se il sistema è rilevabile esisteà un ko..

ireon ha scritto:Quindi analogamente se il sistema è rilevabile esisteà un ko..

Completa la frase ........

Se il sistema e' solo parzialmente osservabile il sistema e' rilevabile solo se gli autovalori della parte non osservabile sono stabili.
Se il sottospazio non osservabile non e' stabile non c'e' verso di modificare questa proprieta'.

L'osservabilita' e' una proprieta' che ti serve essenzialmente per valutare la possibilita' di sintetizzare un osservatore dello stato.
Una volta che riesci a ricostruire lo stato ( o parte di esso ) tenti il controllo retroazionando il sistema impiegando la stima dello stato ( se lo stato e' disponibile o misurabile tanto meglio ...... ).

Una cosa e' la sintesi dell'osservatore un'altra cosa e' la sintesi del controllore.

Ok si il sistema e' rilevabile solo se gli autovalori della parte non osservabile sono stabili, quindi se sono a parte reale strettamente e per vedere la rilevabilità devo usare la decomposizione di Kalman e vedere se gli autovalori associati alla parte non osservabile sono stabili. Quindi se per esempio ho la seguente matrice di osservabilità:

$\begin{bmatrix} 2 &2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

Il detO = 0

quindi il sistema non è osservabile ma potrebbe essere rilevabile, quindi mi calcolo la decomposizione di Kalman nel seguente modo:

KerO = Ox = 0

quindi:

$KerO = \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}$

Adesso completo la base e ottengo:

$U = \begin{bmatrix} 1 &-1 \\ 0&1 \end{bmatrix}$

Mi calcolo l'inversa:

$U^-1 = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 1&1 \end{bmatrix}$

E applico la trasformazione di coordinate ottenego:

$A = U^-1AU = \begin{bmatrix} 0 &1 \\ 0&3 \end{bmatrix}$

A questo punto nella matrice scritta sopra quale parte della matrice devo guardare per vedere se il sottospazio è osservabile?