ElectroYou

Sto cercando di risolvere il seguente esercizio , ma senza successo :

Determinare la funzione di trasferimento di un filtro passa banda con :

$M_{p} = 26db$
picco di risonanza , pari al valore massimo del modulo della risposta armonica (trasformata di fourier della f.d.t.)

$\omega_{i} = 5 rad/sec$
pulsazione ( frequenza ) di taglio inferiore

$\omega_{s} = 50 rad/sec$

pulsazione ( frequenza ) di taglio superiore

L'esercizio è del corso di fonamenti di sistemi dinamici , ho conoscenze di Bode .

Credo che essendo passa banda la f.d.t. debba avere due poli ed uno zero nell'origine ,perché in questo modo nel diagramma di bode avremmo una inclinazione di 20 db fino al primo polo , 0 decibel tra il primo polo e il secondo , -20 db dopo il secondo polo .

Purtroppo non so come determinare i poli , né se la mia supposizione sia giusta , se qualcuno potesse darmi qualche dritta mi sarabbe di grande aiuto

La tua ipotesi su poli e zeri e` corretta.

Le due frequenze di taglio sono molto distanti fra di loro, una e` dieci volte la frequenza dell'altra, il che vuol dire che i due poli sono reali e praticamente non si influenzano fra di loro. Devi quindi mettere un polo alla frequenza di taglio inferiore e uno alla frequenza di taglio superiore, un polo nell'origine e poi mettere a posto il guadagno in banda passante. E` una banda passante, non ci sono risonanze.

Disegna con fidocadj il diagramma di Bode della funzione di trasferimento, che poi ci ragioniamo su.

ah quindi devo mettere un polo alla frequenza di taglio inferiore e un polo a quella superiore , ed uno zero nell'origine ( credo intendessi zero e non polo altrimenti uscirebbe un passa basso )
perciò la funzione di trasferimento dovrebbe essere :
$\frac{s}{s^{2}-55s+250}=\frac{s}{(s-5)(s-50)}$

però in tal caso perché mi ha dato il picco di risonanza ? non mi dovrebbe servire per calcolare la f.d.t. ?

con la f.d.t. : $\frac{s}{s^{2}-55s+250}$

ottengo una costante di guadagno : $K_{db}=20log_{10}(\frac{1}{250})=-48db$ un po' bassina

Certo, uno zero nell'origine, non un polo

I poli devono essere nel semipiano di sinistra, quindi a denominatore devi avere (s+5)(s+50) con il segno positivo.

Il guadagno che ti viene dato e` quello a centro banda, che si trova a meta` fra i due poli, a 15.8 rad/s (il simbolo di secondo e` s, non sec)

Per mettere a posto il guadagno a centrobanda (non e` una risonanza, i poli sono reali), hai due possibilita`

1) Piu` ruspante, ma solo apparentemente esatta. Trovi il guadagno alla frequenza detta prima: in pratica in $\frac{s}{(s+5)(s+50)}$ metti $s=\text{j}\sqrt{250}\,\text{rad/s}$ che e` la frequenza di centro banda, e trovi il modulo della funzione, cioe` il guadagno. Dovrebbe venire 1/55 (in volte, non in decibel). In realta` tu vuoi un guadagno di 26dB (decibel con la B maiuscola!) cioe` 20 volte, devi trovare il coefficiente che moltiplicato per 1/55 da` 20, e quindi la tua funzione in definitiva vale $\frac{1100s}{(s+5)(s+50)}$

2) Metodo piu` elegante e corretto, ma richiede un po' di studio. Scrivi la funzione a bassa entropia, mettendo in evidenza il polo in alto, scrivendo un polo normale, e la coppia zero polo in basso, scrivendo il polo invertito (vedere qui)

$\frac{1}{1+\frac{5}{s}}\times\frac{1}{1+\frac{s}{50}}$

La prima frazione rappresenta la coppia zero/polo a 5rad/s e per "alte frequenze" ha guadagno 1. Il secondo fattore e` il polo a 50rad/s e per "basse frequenze" ha guadagno unitario. In mezzo quindi il guadagno di quella funzione e` unitario, tu vuoi che guadagni 20 e quindi moltiplichi ancora per 20.

$F(s)=20\frac{1}{1+\frac{5}{s}}\times\frac{1}{1+\frac{s}{50}}=\frac{20s}{(s+5)(\frac{s}{50}+1)}=\frac{1000s}{(s+5)(s+50)}$

I due risultati non sono esattamente uguali: il primo ha un guadagno massimo effettivo di 26dB malgrado i poli, il secondo e` un sistema che ha un guadagno di centro banda di 26dB ma poi i poli lo abbassano. Non so che cosa voglia chi ti ha dato l'esercizio.

grazie isidoro , ho provato a calcolare i diagrammi di bode delle funzioni calcolate :

con il primo metodo ottengo il diagramma :

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

con picco di risonanza =

e frequenze di taglio :
$f_{i} = 0,67$
$f_{s} = 9,43$

mentre con il secondo metodo ottengo un picco di risonanza di 25,2

e frequenze di taglio :
$f_{i} = 0,67$
$f_{s} = 9,43$

Per completare la discussione , la domanda successiva dell'esercizio è :
Per tale filtro calcolare la risposta ad un'onda quadra di ampiezza

e pulsazione $45 \frac{rad}{sec}$

Se sviluppi in serie di Fourier l'onda quadra cosa viene fuori ?

ad essere sinceri , è la prima volta che tratto un'onda quadra all'interno di un esercizio.

Ho letto che in serie di fourier si esprime come :

$\sum_{n=1 }^{\infty}B_{nM}\cdot sin(n\omega t)$

con n= 1,3,5,7..

dove $B_{nM}=\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}y(t)\cdot sin(\omega t))$
$=\frac{4\cdot Y_{M}}{n\pi }$

anche se non ho capito chi sia $Y_{M}$

in generale quando devo calcolare la risposta ad una sinusoide , calcolo il modulo e la fase della risposta armonica alla pulsazione dell'ingresso .
o in alternativa calcolo Y(s)= W(s)U(s)

con

f.d.t. e U(s) = L[ingresso]

La serie di Fourier di un'onda quadra di ampiezza unitaria ( picco-picco vale 2 ) e' la seguente ;

$u(t) & {} = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left (2\pi (2k-1) ft \right )}\over(2k-1)}$

Calcola i primi 3 termini inserendo il periodo dell'onda quadra.

dunque essendo $\omega = 45 \frac{rad}{sec}$
il periodo sarà : T=0.14 sec

quindi la frequenza : f=7

mentre calcolando i primi 3 termini della sommatoria ottengo la somma di 3 sinusoidi :

$\frac{4}{\pi } sin ( 2\pi \cdot 7t)+\frac{4}{3\pi } sin ( 6\pi \cdot 7t)+\frac{4}{5\pi } sin ( 10\pi \cdot 7t)$

quindi la risposta la calcolo come : $y(t) = y_{1}(t)+y_{2}(t)+y_{3}(t)$

spero sia giusto :-)

Si. Ti invito pero' a guardare prima dove cadono le frequenze delle prime tre componenti dell'onda quadra.

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Funzione di trasferimento - filtro passa banda

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